Страница 16 номер 19, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Докажите, что если каждое значение массива умножить на одно и то же число, то среднее и медиана массива умножатся на это же число.
Пусть массив \(x\) состоит из чисел \(x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n\) и каждое из них умножили на одно и то же число \(c\). Получился массив \(y\) из чисел
\[y_1 = cx_1,\quad y_2 = cx_2,\quad \ldots,\quad y_n = cx_n.\]
Среднее арифметическое.
\[\begin{aligned} &\bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n} = \frac{cx_1 + cx_2 + \ldots + cx_n}{n} = {} \\ &= \frac{c(x_1 + x_2 + \ldots + x_n)}{n} = c\bar{x}. \end{aligned}\]
Значит, среднее арифметическое умножилось на то же число \(c\); никаких условий на \(c\) здесь не понадобилось.
Медиана. Пусть \(m\) — медиана массива \(x\): хотя бы половина чисел массива \(x\) не больше \(m\) и хотя бы половина не меньше \(m\). Проверим, что число \(cm\) удовлетворяет определению медианы для массива \(y\); множитель \(c\) может быть положительным, отрицательным и нулём.
Пусть \(c > 0\). Для любого номера \(i\) неравенство \(x_i \leqslant m\) равносильно неравенству \(cx_i \leqslant cm\), то есть \(y_i \leqslant cm\), а неравенство \(x_i \geqslant m\) равносильно неравенству \(y_i \geqslant cm\): обе части умножены на одно и то же положительное число, и знак не изменился. Значит, чисел массива \(y\), не больших \(cm\), столько же, сколько чисел массива \(x\), не больших \(m\), а не меньших \(cm\) — столько же, сколько не меньших \(m\); и тех и других хотя бы половина.
Пусть \(c < 0\). При умножении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, поэтому неравенство \(x_i \leqslant m\) равносильно неравенству \(y_i \geqslant cm\), а неравенство \(x_i \geqslant m\) — неравенству \(y_i \leqslant cm\). Два условия определения меняются местами: чисел массива \(y\), не меньших \(cm\), столько же, сколько чисел массива \(x\), не больших \(m\), а не больших \(cm\) — столько же, сколько не меньших \(m\); оба условия снова выполнены.
Пусть \(c = 0\). Тогда все числа массива \(y\) равны нулю и \(cm = 0\): все числа не больше нуля и все не меньше нуля, определение выполнено.
Во всех трёх случаях число \(cm\) является медианой массива \(y\): медиана умножилась на то же число \(c\).
При \(c < 0\) порядок чисел в вариационном ряду меняется на обратный, но пара серединных чисел от этого не меняется — эти два числа лишь меняются местами. Поэтому и соглашение о полусумме даёт тот же ответ: \(\frac{cx_k + cx_{k+1}}{2} = c \cdot \frac{x_k + x_{k+1}}{2}\).
Ответ: утверждение доказано: если каждое значение массива умножить на одно и то же число, то среднее арифметическое и медиана массива умножатся на это же число, причём при любом множителе — положительном, отрицательном и нуле.
Докажите, что если каждое значение массива умножить на одно и то же число, то среднее и медиана массива умножатся на это же число.
Пусть массив \(x\) состоит из чисел \(x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n\) и каждое из них умножили на одно и то же число \(c\). Получился массив \(y\) из чисел
\[y_1 = cx_1,\quad y_2 = cx_2,\quad \ldots,\quad y_n = cx_n.\]
Среднее арифметическое. По определению среднего арифметического
\[\begin{aligned} &\bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n} = \frac{cx_1 + cx_2 + \ldots + cx_n}{n} = {} \\ &= \frac{c(x_1 + x_2 + \ldots + x_n)}{n} = c\bar{x}. \end{aligned}\]
Значит, среднее арифметическое умножилось на то же число \(c\). Здесь никаких условий на \(c\) не понадобилось.
Медиана. Пусть \(m\) — медиана массива \(x\): хотя бы половина чисел массива \(x\) не больше \(m\) и хотя бы половина чисел массива \(x\) не меньше \(m\). Проверим, что число \(cm\) удовлетворяет определению медианы для массива \(y\). Множитель \(c\) может быть и положительным, и отрицательным, и нулём, поэтому разберём три случая.
Пусть \(c > 0\). Для любого номера \(i\) неравенство \(x_i \leqslant m\) равносильно неравенству \(cx_i \leqslant cm\), то есть \(y_i \leqslant cm\): обе части неравенства умножены на одно и то же положительное число, и знак неравенства не изменился. Так же неравенство \(x_i \geqslant m\) равносильно неравенству \(y_i \geqslant cm\). Значит, чисел массива \(y\), не больших \(cm\), столько же, сколько чисел массива \(x\), не больших \(m\), а чисел, не меньших \(cm\), столько же, сколько чисел массива \(x\), не меньших \(m\); и тех и других хотя бы половина.
Пусть \(c < 0\). При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, поэтому неравенство \(x_i \leqslant m\) равносильно неравенству \(cx_i \geqslant cm\), то есть \(y_i \geqslant cm\), а неравенство \(x_i \geqslant m\) равносильно неравенству \(y_i \leqslant cm\). Два условия определения меняются местами: чисел массива \(y\), не меньших \(cm\), столько же, сколько чисел массива \(x\), не больших \(m\), — хотя бы половина; чисел массива \(y\), не больших \(cm\), столько же, сколько чисел массива \(x\), не меньших \(m\), — тоже хотя бы половина. Оба условия снова выполнены.
Пусть \(c = 0\). Тогда все числа массива \(y\) равны нулю и \(cm = 0\). Все числа массива \(y\) не больше нуля и все не меньше нуля, поэтому определение выполнено.
Во всех трёх случаях число \(cm\) является медианой массива \(y\): медиана умножилась на то же число \(c\).
При \(c < 0\) порядок чисел в вариационном ряду меняется на обратный, но пара серединных чисел от этого не меняется — эти два числа лишь меняются местами. Поэтому и соглашение о полусумме даёт тот же ответ: \(\frac{cx_k + cx_{k+1}}{2} = c \cdot \frac{x_k + x_{k+1}}{2}\).
Ответ: утверждение доказано: если каждое значение массива умножить на одно и то же число, то среднее арифметическое и медиана массива умножатся на это же число, причём при любом множителе — положительном, отрицательном и нуле.
