Страница 27 номер 35, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
а) Разность прогрессии обозначим \(d\) и возьмём произвольный номер \(n \geqslant 2\). Соседние члены равны \(a_{n-1} = a_n - d\) и \(a_{n+1} = a_n + d\), поэтому их среднее арифметическое равно \[\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} = \frac{(a_n - d) + (a_n + d)}{2} = \frac{2a_n}{2} = a_n.\]
Номер \(n\) был выбран произвольно, значит, каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних.
б) Знаменатель прогрессии обозначим \(q\); по определению \(b_1 \neq 0\) и \(q \neq 0\). Для произвольного номера \(n \geqslant 2\) соседние члены равны \(b_{n-1} = \frac{b_n}{q}\) и \(b_{n+1} = b_n q\), поэтому их произведение равно \[b_{n-1} \cdot b_{n+1} = \frac{b_n}{q} \cdot b_n q = b_n^2.\]
Среднее геометрическое определено для положительных чисел, поэтому возьмём прогрессию с положительными членами: для неё \(\sqrt{b_{n-1} b_{n+1}} = \sqrt{b_n^2} = b_n\). При отрицательном знаменателе члены чередуются по знаку и среднее геометрическое для них не определено, но равенство \(b_n^2 = b_{n-1} b_{n+1}\) остаётся верным.
в) Члены последовательности равны \(a_n = \frac{1}{n}\) и все положительны, поэтому среднее гармоническое определено. Величины, обратные соседним членам \(a_{n-1} = \frac{1}{n-1}\) и \(a_{n+1} = \frac{1}{n+1}\), равны \(n - 1\) и \(n + 1\), поэтому среднее гармоническое соседних членов равно \[\frac{2}{\dfrac{1}{a_{n-1}} + \dfrac{1}{a_{n+1}}} = \frac{2}{(n - 1) + (n + 1)} = \frac{2}{2n} = \frac{1}{n} = a_n.\]
Номер \(n \geqslant 2\) был выбран произвольно, значит, каждый член этой последовательности, начиная со второго, равен среднему гармоническому двух соседних.
Средним квадратичным двух соседних является каждый член последовательности \[\sqrt{1};\ \sqrt{2};\ \sqrt{3};\ \ldots;\ \sqrt{n};\ \ldots\]
Действительно, для произвольного номера \(n \geqslant 2\) среднее квадратичное соседних членов равно \[\sqrt{\frac{\left(\sqrt{n-1}\right)^2 + \left(\sqrt{n+1}\right)^2}{2}} = \sqrt{\frac{(n-1) + (n+1)}{2}} = \sqrt{n}.\]
Квадраты членов этой последовательности — числа 1, 2, 3, … — образуют арифметическую прогрессию, а для неё верен пункт а).
Ответ: а) каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних; б) каждый член геометрической прогрессии с положительными членами, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних; в) каждый член последовательности \(1;\ \frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \ldots;\ \frac{1}{n};\ \ldots\), начиная со второго, равен среднему гармоническому двух соседних; средним квадратичным двух соседних является каждый член последовательности \(\sqrt{1};\ \sqrt{2};\ \sqrt{3};\ \ldots;\ \sqrt{n};\ \ldots\), начиная со второго.
а) Обозначим члены арифметической прогрессии \(a_1\), \(a_2\), …, а её разность — \(d\). Возьмём произвольный член \(a_n\) с номером \(n \geqslant 2\). Соседние с ним члены равны \(a_{n-1} = a_n - d\) и \(a_{n+1} = a_n + d\), поэтому их среднее арифметическое равно \[\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} = \frac{(a_n - d) + (a_n + d)}{2} = \frac{2a_n}{2} = a_n.\]
Номер \(n\) был выбран произвольно, значит, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних.
б) Обозначим члены геометрической прогрессии \(b_1\), \(b_2\), …, а её знаменатель — \(q\); по определению прогрессии \(b_1 \neq 0\) и \(q \neq 0\). Для произвольного номера \(n \geqslant 2\) соседние члены равны \(b_{n-1} = \frac{b_n}{q}\) и \(b_{n+1} = b_n q\), поэтому их произведение равно \[b_{n-1} \cdot b_{n+1} = \frac{b_n}{q} \cdot b_n q = b_n^2.\]
Среднее геометрическое определено для положительных чисел, поэтому возьмём прогрессию с положительными членами. Для неё \[\sqrt{b_{n-1} b_{n+1}} = \sqrt{b_n^2} = b_n,\] то есть каждый член такой прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних. Если же знаменатель отрицателен, члены прогрессии чередуются по знаку, среднее геометрическое для них не определено, но равенство \(b_n^2 = b_{n-1} b_{n+1}\) остаётся верным.
в) Члены последовательности равны \(a_n = \frac{1}{n}\), все они положительны, поэтому среднее гармоническое определено. Величины, обратные соседним членам \(a_{n-1} = \frac{1}{n-1}\) и \(a_{n+1} = \frac{1}{n+1}\), равны \(n - 1\) и \(n + 1\), поэтому среднее гармоническое соседних членов равно \[\frac{2}{\dfrac{1}{a_{n-1}} + \dfrac{1}{a_{n+1}}} = \frac{2}{(n - 1) + (n + 1)} = \frac{2}{2n} = \frac{1}{n} = a_n.\]
Номер \(n \geqslant 2\) был выбран произвольно, значит, каждый член этой последовательности, начиная со второго, равен среднему гармоническому двух соседних.
Средним квадратичным двух соседних является каждый член последовательности \[\sqrt{1};\ \sqrt{2};\ \sqrt{3};\ \ldots;\ \sqrt{n};\ \ldots\]
Действительно, для произвольного номера \(n \geqslant 2\) среднее квадратичное соседних членов равно \[\sqrt{\frac{\left(\sqrt{n-1}\right)^2 + \left(\sqrt{n+1}\right)^2}{2}} = \sqrt{\frac{(n-1) + (n+1)}{2}} = \sqrt{n}.\]
Так вышло потому, что квадраты членов этой последовательности — числа 1, 2, 3, … — образуют арифметическую прогрессию, а для неё верен пункт а).
Ответ: а) каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних; б) каждый член геометрической прогрессии с положительными членами, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних; в) каждый член последовательности \(1;\ \frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \ldots;\ \frac{1}{n};\ \ldots\), начиная со второго, равен среднему гармоническому двух соседних; средним квадратичным двух соседних является каждый член последовательности \(\sqrt{1};\ \sqrt{2};\ \sqrt{3};\ \ldots;\ \sqrt{n};\ \ldots\), начиная со второго.
