Страница 37 номер 55, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Набор в порядке возрастания: \[1;\ 3;\ 3;\ 4;\ 4;\ 4;\ 5;\ 6;\ 12.\]
В наборе \(n = 9\) чисел, их количество нечётно, поэтому медиана — пятое число ряда, \(m = 4\).
Число 9 не делится на 4, поэтому квартили — отдельные числа ряда. Так как \(\frac{9}{4} = 2{,}25\), после округления вверх получается номер 3 и \(K_1 = 3\); так как \(\frac{3 \cdot 9}{4} = 6{,}75\), после округления вверх получается номер 7 и \(K_3 = 5\). Межквартильный размах равен \(K_3 - K_1 = 5 - 3 = 2\).
\[\bar{x} = \frac{1 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 6 + 12}{9} = \frac{42}{9} = \frac{14}{3} \approx 4{,}67;\] \[\overline{x^2} = \frac{1 + 9 + 9 + 16 + 16 + 16 + 25 + 36 + 144}{9} = \frac{272}{9}.\]
Отсюда \(S^2 = \frac{272}{9} - \left(\frac{14}{3}\right)^2 = \frac{272 - 196}{9} = \frac{76}{9} \approx 8{,}44\), а стандартное отклонение равно \(S = \frac{\sqrt{76}}{3} \approx 2{,}91\).
Ящик у обеих диаграмм один и тот же: от \(K_1 = 3\) до \(K_3 = 5\), внутри него вертикальной чертой отмечена медиана 4, а чёрной точкой — среднее арифметическое; отличаются только усы.
1) Левый конец уса равен \(3 - 1{,}5 \cdot 2 = 0\), правый конец равен \(5 + 1{,}5 \cdot 2 = 8\).
2) Здесь \(3S = 3 \cdot \frac{\sqrt{76}}{3} = \sqrt{76} \approx 8{,}72\), поэтому левый конец равен \(\frac{14}{3} - \sqrt{76} \approx -4{,}05\), а правый — \(\frac{14}{3} + \sqrt{76} \approx 13{,}38\).
При первом способе число 12 больше правого конца уса, равного 8, и потому оказывается выбросом. При втором способе весь набор укладывается между концами усов (\(12 < 13{,}38\)), и выбросов нет.
Ответ: число 12 оказывается выбросом только при первом способе построения усов — по межквартильному размаху, когда усы охватывают промежуток от 0 до 8; при втором способе усы охватывают промежуток примерно от \(-4{,}05\) до \(13{,}38\), и число 12 попадает внутрь него.
Запишем набор в порядке возрастания: \[1;\ 3;\ 3;\ 4;\ 4;\ 4;\ 5;\ 6;\ 12.\]
В наборе \(n = 9\) чисел, их количество нечётно, поэтому медиана — пятое число ряда, \(m = 4\).
Число 9 не делится на 4, поэтому квартили — отдельные числа ряда. Так как \(\frac{9}{4} = 2{,}25\), после округления вверх получается номер 3, и первый квартиль равен третьему числу ряда: \(K_1 = 3\). Так как \(\frac{3 \cdot 9}{4} = 6{,}75\), после округления вверх получается номер 7, и третий квартиль равен седьмому числу ряда: \(K_3 = 5\). Межквартильный размах равен \(K_3 - K_1 = 5 - 3 = 2\).
Для второго правила понадобятся среднее арифметическое и стандартное отклонение: \[\bar{x} = \frac{1 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 6 + 12}{9} = \frac{42}{9} = \frac{14}{3} \approx 4{,}67;\] \[\overline{x^2} = \frac{1 + 9 + 9 + 16 + 16 + 16 + 25 + 36 + 144}{9} = \frac{272}{9}.\]
Отсюда \(S^2 = \frac{272}{9} - \left(\frac{14}{3}\right)^2 = \frac{272 - 196}{9} = \frac{76}{9} \approx 8{,}44\), а стандартное отклонение равно \(S = \frac{\sqrt{76}}{3} \approx 2{,}91\).
Ящик у обеих диаграмм один и тот же: он занимает промежуток от \(K_1 = 3\) до \(K_3 = 5\), внутри него вертикальной чертой отмечена медиана 4, а чёрной точкой — среднее арифметическое. Отличаются только усы.
1) Ус тянется на \(1{,}5\) межквартильных размаха в каждую сторону от края ящика: левый конец равен \(3 - 1{,}5 \cdot 2 = 0\), правый конец равен \(5 + 1{,}5 \cdot 2 = 8\).
2) Ус тянется на 3 стандартных отклонения в каждую сторону от среднего арифметического, причём \(3S = 3 \cdot \frac{\sqrt{76}}{3} = \sqrt{76} \approx 8{,}72\). Левый конец равен \(\frac{14}{3} - \sqrt{76} \approx -4{,}05\), правый конец равен \(\frac{14}{3} + \sqrt{76} \approx 13{,}38\).
При первом способе построения число 12 больше правого конца уса, равного 8, и потому оказывается выбросом. При втором способе весь набор, включая число 12, укладывается между концами усов (\(12 < 13{,}38\)), и выбросов у набора нет.
Ответ: число 12 оказывается выбросом только при первом способе построения усов — по межквартильному размаху, когда усы охватывают промежуток от 0 до 8; при втором способе усы охватывают промежуток примерно от \(-4{,}05\) до \(13{,}38\), и число 12 попадает внутрь него.
