Страница 16 номер 18, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Докажите, что если все числа в массиве данных сдвинуть на одно и то же число влево или вправо, то медиана и среднее арифметическое сдвинутся на это же число.
Пусть массив \(x\) состоит из чисел \(x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n\) и каждое из них сдвинули на одно и то же число \(c\): сдвиг вправо — прибавление положительного \(c\), сдвиг влево — отрицательного. Получился массив \(y\) из чисел
\[y_1 = x_1 + c,\quad y_2 = x_2 + c,\quad \ldots,\quad y_n = x_n + c.\]
Среднее арифметическое.
\[\begin{aligned} &\bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n} = {} \\ &= \frac{(x_1 + c) + (x_2 + c) + \ldots + (x_n + c)}{n}. \end{aligned}\]
В числителе \(n\) слагаемых, каждое содержит по одному слагаемому \(c\), поэтому вместе они дают \(nc\):
\[\begin{aligned} &\bar{y} = \frac{(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) + nc}{n} = {} \\ &= \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} + \frac{nc}{n} = \bar{x} + c. \end{aligned}\]
Значит, среднее арифметическое сдвинулось на то же число \(c\).
Медиана. Пусть \(m\) — медиана массива \(x\): хотя бы половина чисел массива \(x\) не больше \(m\) и хотя бы половина не меньше \(m\). Проверим, что число \(m + c\) удовлетворяет определению медианы для массива \(y\).
Для любого номера \(i\) неравенство \(x_i \leqslant m\) равносильно неравенству \(x_i + c \leqslant m + c\), то есть неравенству \(y_i \leqslant m + c\): к обеим частям прибавлено одно и то же число, и знак не изменился. Значит, чисел массива \(y\), не больших \(m + c\), ровно столько же, сколько чисел массива \(x\), не больших \(m\), — хотя бы половина.
Точно так же неравенство \(x_i \geqslant m\) равносильно неравенству \(y_i \geqslant m + c\), поэтому чисел массива \(y\), не меньших \(m + c\), тоже хотя бы половина.
Оба условия определения выполнены, значит, число \(m + c\) является медианой массива \(y\): медиана сдвинулась на то же число \(c\).
Сдвиг сохраняет порядок чисел, поэтому и соглашение о полусумме даёт тот же результат: серединными числами массива \(y\) будут \(x_k + c\) и \(x_{k+1} + c\), а их полусумма равна \(\frac{(x_k + c) + (x_{k+1} + c)}{2} = \frac{x_k + x_{k+1}}{2} + c\).
Ответ: утверждение доказано: если все числа массива сдвинуть на одно и то же число влево или вправо, то медиана и среднее арифметическое сдвинутся на это же число.
Докажите, что если все числа в массиве данных сдвинуть на одно и то же число влево или вправо, то медиана и среднее арифметическое сдвинутся на это же число.
Пусть массив \(x\) состоит из чисел \(x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n\) и каждое из них сдвинули на одно и то же число \(c\): сдвиг вправо — это прибавление положительного числа \(c\), сдвиг влево — прибавление отрицательного. Получился массив \(y\) из чисел
\[y_1 = x_1 + c,\quad y_2 = x_2 + c,\quad \ldots,\quad y_n = x_n + c.\]
Среднее арифметическое. По определению среднего арифметического
\[\begin{aligned} &\bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n} = {} \\ &= \frac{(x_1 + c) + (x_2 + c) + \ldots + (x_n + c)}{n}. \end{aligned}\]
В числителе \(n\) слагаемых, и каждое из них содержит по одному слагаемому \(c\), поэтому вместе они дают \(nc\):
\[\begin{aligned} &\bar{y} = \frac{(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) + nc}{n} = {} \\ &= \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} + \frac{nc}{n} = \bar{x} + c. \end{aligned}\]
Значит, среднее арифметическое сдвинулось на то же число \(c\).
Медиана. Пусть \(m\) — медиана массива \(x\). По определению хотя бы половина чисел массива \(x\) не больше \(m\) и хотя бы половина чисел массива \(x\) не меньше \(m\). Проверим, что число \(m + c\) удовлетворяет определению медианы для массива \(y\).
Для любого номера \(i\) неравенство \(x_i \leqslant m\) равносильно неравенству \(x_i + c \leqslant m + c\), то есть неравенству \(y_i \leqslant m + c\): к обеим частям неравенства прибавлено одно и то же число, и знак неравенства не изменился. Значит, чисел массива \(y\), не больших \(m + c\), ровно столько же, сколько чисел массива \(x\), не больших \(m\), — то есть хотя бы половина.
Точно так же неравенство \(x_i \geqslant m\) равносильно неравенству \(y_i \geqslant m + c\), поэтому чисел массива \(y\), не меньших \(m + c\), тоже хотя бы половина.
Оба условия определения выполнены, значит, число \(m + c\) является медианой массива \(y\): медиана сдвинулась на то же число \(c\).
Сдвиг сохраняет порядок чисел, поэтому и соглашение о полусумме даёт тот же результат: если чисел в массиве чётное количество и медиану берут как полусумму двух серединных чисел \(x_k\) и \(x_{k+1}\), то серединными числами массива \(y\) будут \(x_k + c\) и \(x_{k+1} + c\), а их полусумма равна \(\frac{(x_k + c) + (x_{k+1} + c)}{2} = \frac{x_k + x_{k+1}}{2} + c\).
Ответ: утверждение доказано: если все числа массива сдвинуть на одно и то же число влево или вправо, то медиана и среднее арифметическое сдвинутся на это же число.
