Страница 29 номер 42, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Числа набора \(x\) положительны (иначе \(G_x\) и \(H_x\) не были бы определены), множитель \(a\) положителен по условию, поэтому все числа набора \(y\) тоже положительны и все три средних у него есть.
а) Равенство \(Q_y = aQ_x\) верно: \[\begin{aligned} &Q_y = \sqrt{\frac{(ax_1)^2 + (ax_2)^2 + \ldots + (ax_n)^2}{n}} = {} \\ &= \sqrt{a^2 \cdot \frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}} = a Q_x. \end{aligned}\]
Из каждого слагаемого числителя вынесен множитель \(a^2\), а \(\sqrt{a^2} = a\) потому, что \(a > 0\).
б) Равенство \(G_y = aG_x\) верно: \[\begin{aligned} &G_y = \sqrt[n]{(ax_1)(ax_2) \ldots (ax_n)} = {} \\ &= \sqrt[n]{a^n \cdot x_1 x_2 \ldots x_n} = a G_x. \end{aligned}\]
Множителей ровно \(n\), из каждого вынесено по \(a\), а корень \(n\)-й степени из \(a^n\) равен \(a\) опять потому, что \(a > 0\).
в) Равенство \(H_y = aH_x\) верно: \[\begin{aligned} &H_y = \frac{n}{\dfrac{1}{ax_1} + \ldots + \dfrac{1}{ax_n}} = {} \\ &= \frac{n}{\dfrac{1}{a}\left(\dfrac{1}{x_1} + \ldots + \dfrac{1}{x_n}\right)} = a H_x. \end{aligned}\]
В знаменателе из суммы вынесен общий множитель \(\frac{1}{a}\), а деление на \(\frac{1}{a}\) — это умножение на \(a\).
Ответ: а) верно, \(Q_y = aQ_x\); б) верно, \(G_y = aG_x\); в) верно, \(H_y = aH_x\) — при умножении всех чисел набора на положительное число \(a\) каждое из трёх средних умножается на \(a\).
Числа набора \(x\) положительны: иначе среднее геометрическое \(G_x\) и среднее гармоническое \(H_x\) не были бы определены. Множитель \(a\) положителен по условию, поэтому все числа набора \(y\) тоже положительны и все три средних у него есть.
а) Равенство \(Q_y = aQ_x\) верно: \[\begin{aligned} &Q_y = \sqrt{\frac{(ax_1)^2 + (ax_2)^2 + \ldots + (ax_n)^2}{n}} = {} \\ &= \sqrt{a^2 \cdot \frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}} = a Q_x. \end{aligned}\]
Из каждого слагаемого числителя вынесен множитель \(a^2\), а \(\sqrt{a^2} = a\) именно потому, что \(a > 0\).
б) Равенство \(G_y = aG_x\) верно: \[\begin{aligned} &G_y = \sqrt[n]{(ax_1)(ax_2) \ldots (ax_n)} = {} \\ &= \sqrt[n]{a^n \cdot x_1 x_2 \ldots x_n} = a G_x. \end{aligned}\]
Множителей ровно \(n\), из каждого вынесено по \(a\), поэтому появилось \(a^n\); корень \(n\)-й степени из \(a^n\) равен \(a\), и это опять верно потому, что \(a > 0\).
в) Равенство \(H_y = aH_x\) верно: \[\begin{aligned} &H_y = \frac{n}{\dfrac{1}{ax_1} + \ldots + \dfrac{1}{ax_n}} = {} \\ &= \frac{n}{\dfrac{1}{a}\left(\dfrac{1}{x_1} + \ldots + \dfrac{1}{x_n}\right)} = a H_x. \end{aligned}\]
В знаменателе из суммы вынесен общий множитель \(\frac{1}{a}\), а деление на \(\frac{1}{a}\) — это умножение на \(a\).
Ответ: а) верно, \(Q_y = aQ_x\); б) верно, \(G_y = aG_x\); в) верно, \(H_y = aH_x\) — при умножении всех чисел набора на положительное число \(a\) каждое из трёх средних умножается на \(a\).
