Страница 29 номер 46, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Пусть всего комнат \(n\) и в них живут \(x_1\), \(x_2\), …, \(x_n\) студентов; все эти числа положительны.
Из комнаты с номером \(j\) приходит \(x_j\) ответов, и каждый равен \(x_j\), поэтому эта комната добавляет к сумме ответов \(x_j \cdot x_j = x_j^2\). Опрошено \(x_1 + x_2 + \ldots + x_n\) студентов, значит, среднее арифметическое результатов опроса равно \[\frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}.\]
Разделим числитель и знаменатель на \(n\): \[\frac{\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}}{\dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}} = \frac{Q^2}{A},\] где \(Q\) и \(A\) — среднее квадратичное и среднее арифметическое массива \(x_1\), \(x_2\), …, \(x_n\). Само число \(A\) и есть среднее число студентов, проживающих в комнате.
Числа положительны и не все равны между собой, потому что в комнатах живут не поровну, поэтому \(A < Q\). Обе величины положительны, значит, \(A^2 < Q^2\) и \[\frac{Q^2}{A} > \frac{A^2}{A} = A.\]
Число \(2{,}43\) — это как раз среднее арифметическое ответов, поэтому среднее число студентов в комнате меньше \(2{,}43\).
Ответ: больше число \(2{,}43\) — среднее арифметическое результатов опроса; среднее число студентов, проживающих в комнате, меньше этого числа.
Пусть всего комнат \(n\) и в них живут \(x_1\), \(x_2\), …, \(x_n\) студентов. Все эти числа положительны: в каждой комнате кто-то живёт.
Каждый студент называет число жильцов своей комнаты вместе с собой. Из комнаты с номером \(j\) приходит \(x_j\) ответов, и каждый из них равен \(x_j\), поэтому эта комната добавляет к сумме ответов \(x_j \cdot x_j = x_j^2\). Всего опрошено \(x_1 + x_2 + \ldots + x_n\) студентов, значит, среднее арифметическое результатов опроса равно \[\frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}.\]
Разделим числитель и знаменатель этой дроби на \(n\): \[\frac{\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}}{\dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}} = \frac{Q^2}{A},\] где \(Q\) и \(A\) — среднее квадратичное и среднее арифметическое массива \(x_1\), \(x_2\), …, \(x_n\). Само число \(A\) и есть среднее число студентов, проживающих в комнате.
Числа \(x_1\), \(x_2\), …, \(x_n\) положительны и не все равны между собой, потому что в комнатах живут не поровну. По неравенству о средних \(A \leqslant Q\), и при неравных числах неравенство строгое: \(A < Q\). Обе величины положительны, поэтому \(A^2 < Q^2\) и \[\frac{Q^2}{A} > \frac{A^2}{A} = A.\]
Значит, среднее арифметическое результатов опроса больше среднего числа студентов в комнате. Число \(2{,}43\) — это как раз среднее арифметическое ответов, поэтому среднее число студентов в комнате меньше \(2{,}43\).
Ответ: больше число \(2{,}43\) — среднее арифметическое результатов опроса; среднее число студентов, проживающих в комнате, меньше этого числа.
