Вопросы после параграфа §4 на странице 20, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Квартили делят упорядоченный массив данных не пополам, как медиана, а на четыре почти равные части.

Число \(K_1\) называют первым квартилем массива данных, если в этом массиве хотя бы четверть чисел не больше числа \(K_1\) и хотя бы три четверти чисел не меньше числа \(K_1\).

Число \(K_3\) называют третьим квартилем массива данных, если в этом массиве хотя бы три четверти чисел не больше числа \(K_3\) и хотя бы четверть чисел не меньше числа \(K_3\).

Первый квартиль делит массив по численности в отношении \(1 : 3\), третий — в отношении \(3 : 1\). Второй квартиль отдельно не определяют: второй квартиль — это медиана.

Например, в массиве 1; 3; 4; 5; 6; 6; 8; 8; 9 девять чисел. Четверть от девяти равна \(2{,}25\), поэтому первым квартилем будет третье число: \(K_1 = 4\). Три четверти от девяти равны \(6{,}75\), поэтому третьим квартилем будет седьмое число: \(K_3 = 8\).

Ответ: \(K_1\) — такое число, что хотя бы четверть чисел массива не больше него и хотя бы три четверти чисел не меньше него; \(K_3\) — такое число, что хотя бы три четверти чисел массива не больше него и хотя бы четверть чисел не меньше него.

Данные упорядочивают по возрастанию и находят первый и третий квартили. Все значения, меньшие \(K_1\), и все значения, большие \(K_3\), отбрасывают — это по 25 % данных снизу и сверху. Среднее арифметическое оставшихся значений и есть 50%-е урезанное среднее массива.

Например, для упорядоченного массива 1; 2; 4; 4; 5; 6; 7; 10 из восьми чисел четверть от восьми равна 2, поэтому квартили лежат между вторым и третьим числами и между шестым и седьмым числами: \(K_1 = \frac{3}{4} \cdot 2 + \frac{1}{4} \cdot 4 = 1{,}5 + 1 = 2{,}5\) и \(K_3 = \frac{1}{4} \cdot 6 + \frac{3}{4} \cdot 7 = 1{,}5 + 5{,}25 = 6{,}75\). Между квартилями лежат четыре числа 4, 4, 5, 6, и урезанное среднее равно \[\frac{4 + 4 + 5 + 6}{4} = \frac{19}{4} = 4{,}75.\] Урезать массив можно не только с помощью квартилей: снизу и сверху отбрасывают по 5, 10 или 20 % значений — долю урезания выбирают по смыслу данных.

В электронной таблице урезанное среднее вычисляет функция `УРЕЗСРЕДНЕЕ()`, причём долю урезания указывают не в процентах, а в долях единицы: для 50%-го урезанного среднего пишут \(0{,}5\).

Ответ: нужно упорядочить данные, найти квартили \(K_1\) и \(K_3\), отбросить все значения, меньшие \(K_1\), и все значения, большие \(K_3\) (это по 25 % данных снизу и сверху), и найти среднее арифметическое оставшихся значений.

Межквартильный размах — это разность третьего и первого квартилей \(K_3 - K_1\). Он показывает, насколько далеко отстоят друг от друга границы области концентрации типичных значений, и потому служит мерой рассеивания данных.

Обычный размах — разность наибольшего и наименьшего значений — опирается только на два крайних значения, а они как раз могут оказаться выбросами. Межквартильный размах на крайние значения не опирается и потому надёжнее.

Например, для массива 51; 52; 58; 66; 78; 83; 87; 96 первый квартиль равен \(53{,}5\), третий равен 86, межквартильный размах равен \(86 - 53{,}5 = 32{,}5\), а обычный размах равен \(96 - 51 = 45\).

Ответ: межквартильный размах — это разность третьего и первого квартилей \(K_3 - K_1\).

Ящик тянется от \(K_1\) до \(K_3\), то есть длина самого ящика равна одному межквартильному размаху. Ус откладывается от края ящика и в каждую сторону имеет длину \(1{,}5(K_3 - K_1)\). Значит, расстояние между концами усов равно \[\begin{aligned} &\bigl(K_3 + 1{,}5(K_3 - K_1)\bigr) - \bigl(K_1 - 1{,}5(K_3 - K_1)\bigr) = {} \\ &= (K_3 - K_1) + 3(K_3 - K_1) = 4(K_3 - K_1). \end{aligned}\] Ответ: расстояние между концами усов равно четырём межквартильным размахам, то есть \(4(K_3 - K_1)\).

Ящик занимает область концентрации данных — промежуток от \(K_1\) до \(K_3\), в который попадает примерно половина всех значений, самых типичных для массива. Ус отмеряет от края ящика ещё полтора межквартильных размаха, то есть расстояние в полтора раза больше самого ящика.

Значение, не охваченное усами, отстоит от области концентрации дальше чем на полтора межквартильных размаха: оно далеко от центра массива и резко отличается от большинства значений. Такие значения и называют выбросами. Чаще всего они появляются из-за ошибки в данных или из-за того, что в массив попало значение другой природы, а на среднее арифметическое они влияют сильнее всех прочих.

Значения между краем ящика и концом уса тоже нельзя считать типичными, но их обычно много, и они несут немало полезной информации; за концами усов значений мало, и они только искажают картину.

Ответ: потому что значение, не охваченное усами, отстоит от области концентрации данных больше чем на полтора межквартильных размаха — оно далеко от центра массива и резко отличается от большинства значений.