Вопросы после параграфа §38 на странице 187, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Пусть проводится серия из \(n\) испытаний Бернулли — одинаковых независимых испытаний с вероятностью успеха \(p\) в каждом, и \(q = 1 - p\) — вероятность неудачи. Число успехов \(X\) в такой серии имеет биномиальное распределение \(Bi(n,\ p)\): \[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & \ldots & k & \ldots & n \\ q^n & C_n^1pq^{n-1} & \ldots & C_n^kp^kq^{n-k} & \ldots & p^n \end{pmatrix}.\]

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний, вероятности успеха и вероятности неудачи, а стандартное отклонение — квадратному корню из дисперсии: \[\mathrm{D}X = npq, \quad \sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{npq}.\]

Формула следует из того, что число успехов раскладывается в сумму индикаторов. Для \(k\)-го испытания введём индикатор \(I_k\): \(I_k = 1\), если это испытание окончилось успехом, и \(I_k = 0\) в противном случае. Тогда \(X = I_1 + I_2 + \ldots + I_n\). Каждый индикатор — бинарная величина, которая равна 1 с вероятностью \(p\) и 0 с вероятностью \(q\), поэтому \(\mathrm{D}I_k = pq\). Испытания серии независимы, значит, независимы и индикаторы, а дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий: \[\begin{aligned} &\mathrm{D}X = \mathrm{D}I_1 + \mathrm{D}I_2 + \ldots + \mathrm{D}I_n = {} \\ &= \underbrace{pq + pq + \ldots + pq}_{n \text{ слагаемых}} = npq. \end{aligned}\]

Например, если симметричную монету бросают 100 раз, то число выпавших орлов \(X\) — это число успехов в серии из \(n = 100\) независимых бросков с вероятностью успеха \(p = 0{,}5\) в каждом, то есть \(X \sim Bi(100;\ 0{,}5)\). Здесь \(q = 0{,}5\), поэтому \(\mathrm{D}X = 100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 25\) и \(\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{25} = 5\).

Ответ: если \(X\) — число успехов в серии из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) в каждом, то есть \(X \sim Bi(n,\ p)\), то \(\mathrm{D}X = npq\), где \(q = 1 - p\), и \(\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{npq}\).

Пусть \(X \sim Bi(n,\ p)\), а \(Y\) — число успехов в серии из \(4n\) испытаний с той же вероятностью успеха \(p\), то есть \(Y \sim Bi(4n,\ p)\): вероятность успеха не меняется, меняется только число испытаний. Стандартное отклонение биномиального распределения равно \(\sqrt{npq}\), где \(q = 1 - p\), поэтому \[\sqrt{\mathrm{D}Y} = \sqrt{4n \cdot pq} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{npq} = 2\sqrt{\mathrm{D}X}.\]

Дисперсия при этом увеличивается в 4 раза, а стандартное отклонение, как корень из неё, — только в \(\sqrt{4} = 2\) раза.

Например, при \(p = 0{,}5\) и \(n = 16\) стандартное отклонение равно \(\sqrt{16 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{4} = 2\), а при \(n = 64\) оно равно \(\sqrt{64 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{16} = 4\) — вдвое больше.

Ответ: в 2 раза (если вероятность успеха \(p\) не меняется).

Число успехов \(X\) в серии из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) имеет распределение \(Bi(n,\ p)\) и стандартное отклонение \(\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{npq}\), где \(q = 1 - p\). Вероятность успеха считаем неизменной. Пусть число испытаний увеличили в \(m\) раз и \(Y\) — число успехов в новой серии, то есть \(Y \sim Bi(mn,\ p)\). Тогда \[\sqrt{\mathrm{D}Y} = \sqrt{mn \cdot pq} = \sqrt{m} \cdot \sqrt{npq} = \sqrt{m} \cdot \sqrt{\mathrm{D}X}.\]

Значит, стандартное отклонение увеличивается в \(\sqrt{m}\) раз. Оно должно увеличиться в 10 раз, поэтому \(\sqrt{m} = 10\), откуда \(m = 10^2 = 100\).

Например, при \(p = 0{,}5\) и \(n = 16\) стандартное отклонение равно \(\sqrt{16 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = 2\), а при \(n = 16 \cdot 100 = 1600\) оно равно \(\sqrt{1600 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{400} = 20\) — в 10 раз больше.

Ответ: в 100 раз (если вероятность успеха не меняется).

Пусть проводится серия одинаковых независимых испытаний с вероятностью успеха \(p\) в каждом (\(0 < p < 1\)), \(q = 1 - p\) — вероятность неудачи, а случайная величина \(X\) — число испытаний до первого успеха включительно. Тогда \(X\) имеет геометрическое распределение \(G(p)\): \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ p & qp & q^2p & \ldots & q^{k-1}p & \ldots \end{pmatrix}.\]

Дисперсия геометрического распределения равна вероятности неудачи, делённой на квадрат вероятности успеха, а стандартное отклонение — квадратному корню из дисперсии: \[\mathrm{D}X = \frac{q}{p^2}, \quad \sqrt{\mathrm{D}X} = \frac{\sqrt{q}}{p}.\]

Например, если вероятность успеха в каждом испытании равна \(p = 0{,}25\), то \(q = 0{,}75\) и \[\mathrm{D}X = \frac{0{,}75}{0{,}25^2} = \frac{0{,}75}{0{,}0625} = 12.\]

Стандартное отклонение в этом примере равно \(\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{12} \approx 3{,}464\).

Ответ: если \(X\) — число испытаний до первого успеха включительно в серии одинаковых независимых испытаний с вероятностью успеха \(p\) в каждом, то есть \(X \sim G(p)\), то \(\mathrm{D}X = \dfrac{q}{p^2}\), где \(q = 1 - p\), и \(\sqrt{\mathrm{D}X} = \dfrac{\sqrt{q}}{p}\).

Испытания серии одинаковы и независимы, вероятность успеха в каждом равна \(p = 0{,}001\), а величина \(X\) «число испытаний» считает испытания до первого успеха включительно. Значит, \(X \sim G(0{,}001)\), вероятность неудачи \(q = 1 - 0{,}001 = 0{,}999\), а стандартное отклонение геометрического распределения равно \[\sqrt{\mathrm{D}X} = \frac{\sqrt{q}}{p} = \frac{\sqrt{0{,}999}}{0{,}001} = 1000\sqrt{0{,}999} \approx 999{,}5.\]

Вероятность успеха мала, поэтому вероятность неудачи \(q\) близка к единице и \(\sqrt{q} \approx 1\). Значит, стандартное отклонение почти совпадает с математическим ожиданием: \(\sqrt{\mathrm{D}X} \approx \dfrac{1}{p} = \mathrm{E}X = 1000\).

Ответ: приблизительно 1000 испытаний (\(\sqrt{\mathrm{D}X} \approx 999{,}5\)).