Страница 194 номер 420, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Величина \(X\) принимает значения 2, 4, 6 и 8, каждое с вероятностью \(\frac{1}{4} = 0{,}25\); все значения положительны, математическое ожидание есть — неравенство Маркова \(\mathrm{P}(X \geqslant a) \leqslant \frac{\mathrm{E}X}{a}\) применимо.
\[\mathrm{E}X = 2 \cdot 0{,}25 + 4 \cdot 0{,}25 + 6 \cdot 0{,}25 + 8 \cdot 0{,}25 = \frac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = 5.\]
а) Для события \(A = \{X \geqslant 1\}\) граница \(a = 1\): \[\mathrm{P}(A) \leqslant \frac{5}{1} = 5.\]
б) Для события \(B = \{X \geqslant 5\}\) граница \(a = 5\): \[\mathrm{P}(B) \leqslant \frac{5}{5} = 1.\]
в) Для события \(C = \{X \geqslant 10\}\) граница \(a = 10\): \[\mathrm{P}(C) \leqslant \frac{5}{10} = 0{,}5.\]
Ценности не имеют первые две оценки: всякая вероятность и так заключена между 0 и 1, поэтому о событиях \(A\) и \(B\) эти оценки ничего нового не сообщают. Содержательна только третья оценка — она запрещает событию \(C\) иметь вероятность больше \(0{,}5\).
Ответ: а) \(\mathrm{P}(A) \leqslant 5\); б) \(\mathrm{P}(B) \leqslant 1\); в) \(\mathrm{P}(C) \leqslant 0{,}5\); ценности не имеют первые две оценки — всякая вероятность и без них не больше 1.
Случайная величина \(X\) принимает четыре значения 2, 4, 6 и 8 с равными вероятностями, то есть каждое значение — с вероятностью \(\frac{1}{4} = 0{,}25\). Все четыре значения положительны, поэтому \(X\) принимает только неотрицательные значения, и математическое ожидание у неё есть — неравенство Маркова применимо.
Математическое ожидание равно сумме произведений значений на их вероятности: \[\mathrm{E}X = 2 \cdot 0{,}25 + 4 \cdot 0{,}25 + 6 \cdot 0{,}25 + 8 \cdot 0{,}25 = \frac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = 5.\]
Неравенство Маркова даёт оценку сверху \(\mathrm{P}(X \geqslant a) \leqslant \frac{\mathrm{E}X}{a}\) для любого положительного числа \(a\). Остаётся подставить в него границу каждого события.
а) Для события \(A = \{X \geqslant 1\}\) граница \(a = 1\): \[\mathrm{P}(A) \leqslant \frac{5}{1} = 5.\]
б) Для события \(B = \{X \geqslant 5\}\) граница \(a = 5\): \[\mathrm{P}(B) \leqslant \frac{5}{5} = 1.\]
в) Для события \(C = \{X \geqslant 10\}\) граница \(a = 10\): \[\mathrm{P}(C) \leqslant \frac{5}{10} = 0{,}5.\]
Ценности не имеют первые две оценки. Всякая вероятность и так заключена между 0 и 1, поэтому слова «не более 5» и «не более 1» не сообщают о событиях \(A\) и \(B\) ничего нового. Содержательна только третья оценка: она запрещает событию \(C\) иметь вероятность больше \(0{,}5\).
Посчитаем вероятности точно, чтобы видеть, насколько грубы оценки. Каждое из значений 2, 4, 6, 8 не меньше 1, поэтому \(\mathrm{P}(A) = 1\). Не меньше 5 два значения — 6 и 8, поэтому \(\mathrm{P}(B) = 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5\). Значений, не меньших 10, у величины нет, поэтому \(\mathrm{P}(C) = 0\).
Ответ: а) \(\mathrm{P}(A) \leqslant 5\); б) \(\mathrm{P}(B) \leqslant 1\); в) \(\mathrm{P}(C) \leqslant 0{,}5\); ценности не имеют первые две оценки — всякая вероятность и без них не больше 1.
