Страница 199 номер 430, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Теорема Чебышёва (закон больших чисел) говорит о последовательности независимых случайных величин с одинаковым распределением, у которого есть математическое ожидание \(m\) и дисперсия \(d\): вероятность события \(\left|\bar{X} - m\right| < a\) стремится к 1 при увеличении числа величин, каким бы ни было положительное число \(a\). Здесь \(\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\) — среднее арифметическое первых \(n\) величин последовательности. В каждом пункте речь идёт о последовательности одинаковых независимых случайных величин с указанным распределением, и надо выяснить, применима ли к ней теорема Чебышёва. Независимость и одинаковое распределение даны, поэтому проверить надо только одно: существуют ли у распределения математическое ожидание и дисперсия.

а) Величина принимает три значения: \[X \sim \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0{,}5 & 0{,}2 & 0{,}3 \end{pmatrix}.\]

У распределения с конечным числом значений и математическое ожидание, и дисперсия — суммы нескольких слагаемых, поэтому они существуют всегда; это и есть довод. Посчитаем их и здесь: \(\mathrm{E}X = -1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}2 + 3 \cdot 0{,}3 = -0{,}5 + 0{,}4 + 0{,}9 = 0{,}8\), а величина \(X^2\) принимает значения 1, 4 и 9 с теми же вероятностями, поэтому \(\mathrm{E}X^2 = 1 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}2 + 9 \cdot 0{,}3 = 0{,}5 + 0{,}8 + 2{,}7 = 4\). Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата минус квадрат математического ожидания: \[\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2X = 4 - 0{,}8^2 = 4 - 0{,}64 = 3{,}36.\]

Оба числа существуют, значит, теорема Чебышёва применима.

б) Геометрическое распределение \(G(0{,}2)\) — распределение числа испытаний до первого успеха включительно при вероятности успеха \(p = 0{,}2\) в каждом испытании. Значений у него бесконечно много (\(1;\ 2;\ 3;\ \ldots\)), поэтому довод о конечном числе значений здесь не годится; зато математическое ожидание и дисперсия геометрического распределения известны. Вероятность неудачи \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\), и \[\mathrm{E}X = \frac{1}{p} = \frac{1}{0{,}2} = 5, \qquad \mathrm{D}X = \frac{q}{p^2} = \frac{0{,}8}{0{,}2^2} = \frac{0{,}8}{0{,}04} = 20.\]

Оба числа существуют, значит, теорема Чебышёва применима.

в) Биномиальное распределение \(Bi(100;\ 0{,}3)\) — распределение числа успехов в серии из \(n = 100\) одинаковых независимых испытаний с вероятностью успеха \(p = 0{,}3\) в каждом. Вероятность неудачи \(q = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\), математическое ожидание равно произведению числа испытаний на вероятность успеха, а дисперсия — произведению числа испытаний, вероятности успеха и вероятности неудачи: \[\mathrm{E}X = np = 100 \cdot 0{,}3 = 30, \qquad \mathrm{D}X = npq = 100 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 21.\]

Оба числа существуют, значит, теорема Чебышёва применима.

г) Величина принимает бесконечно много значений: \[X \sim \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{4} & \sqrt{8} & \dots & \sqrt{2}^{\,k} & \dots \\ 0{,}5 & 0{,}25 & 0{,}125 & \dots & 0{,}5^{k} & \dots \end{pmatrix}.\]

\(k\)-е значение здесь — это \(\sqrt{2}^{\,k} = \left(\sqrt{2}\right)^{k}\), а его вероятность равна \(0{,}5^{k}\). Бесконечное число значений само по себе ничего не запрещает: у геометрического распределения значений тоже бесконечно много, а ожидание и дисперсия есть. Поэтому обе характеристики надо посчитать.

Сами вероятности образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом \(0{,}5\) и знаменателем \(0{,}5\), и их сумма равна \(\frac{0{,}5}{1 - 0{,}5} = 1\) — как и должно быть у распределения.

Каждое слагаемое математического ожидания — произведение значения на его вероятность, причём \(\left(\sqrt{2}\right)^{k} \cdot 0{,}5^{k} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{k} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{k}\). Значит, слагаемые тоже образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию — с первым членом \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) и таким же знаменателем: \[\mathrm{E}X = \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + \ldots = \frac{1/\sqrt{2}}{1 - 1/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1.\]

Здесь числитель и знаменатель сначала умножены на \(\sqrt{2}\), а потом на \(\sqrt{2} + 1\), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: \(\left(\sqrt{2} - 1\right)\left(\sqrt{2} + 1\right) = 2 - 1 = 1\). Математическое ожидание существует и равно \(\sqrt{2} + 1\).

С дисперсией дело обстоит иначе. Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата минус квадрат математического ожидания, \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2X\), а величина \(X^2\) принимает значения \(\left(\left(\sqrt{2}\right)^{k}\right)^{2} = 2^{k}\) с теми же вероятностями \(0{,}5^{k}\). Каждое слагаемое математического ожидания квадрата равно \(2^{k} \cdot 0{,}5^{k} = 1\): \[\mathrm{E}X^2 = 2 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}25 + 8 \cdot 0{,}125 + \ldots = 1 + 1 + 1 + \ldots\]

Слагаемые не убывают, поэтому сумма \(1 + 1 + 1 + \ldots\) не существует: сколько слагаемых ни взять, каждое следующее добавляет к сумме ещё единицу, и частичные суммы растут неограниченно. Значит, математического ожидания квадрата у этой величины нет, а потому нет и дисперсии. Условие теоремы Чебышёва не выполнено, и теорема неприменима.

Ответ: а), б), в) да (у распределения есть и математическое ожидание, и дисперсия); г) нет (дисперсии не существует).