Страница 183 номер 399, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Даны две независимые случайные величины \(X\) и \(Y\) с дисперсиями \(\mathrm{D}X = 6\) и \(\mathrm{D}Y = 4\). Найдите дисперсию случайной величины:
а) \(X + Y\);
б) \(X - Y\);
в) \(Y + 3X\);
г) \(3Y - 2X + 2\).
\(X\) и \(Y\) независимы, \(\mathrm{D}X = 6\), \(\mathrm{D}Y = 4\). Дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий, а \(\mathrm{D}(aX + b) = a^2\mathrm{D}X\): постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате, постоянное слагаемое дисперсию не меняет.
Величины \(X\) и \(-Y\), \(3X\) и \(Y\), \(-2X\) и \(3Y\) тоже независимы: событие, которое выражается через значения \(3X\), выражается и через значения \(X\) (событие \(3X = 6\) — то же самое, что \(X = 2\)), и так же для \(-Y\), \(3Y\) и \(-2X\).
а) \(\mathrm{D}(X + Y) = \mathrm{D}X + \mathrm{D}Y = 6 + 4 = 10\).
б) \(X - Y = X + (-1) \cdot Y\), \(\mathrm{D}(-Y) = (-1)^2 \cdot \mathrm{D}Y = 1 \cdot 4 = 4\).
\(\mathrm{D}(X - Y) = \mathrm{D}X + \mathrm{D}(-Y) = 6 + 4 = 10\).
в) \(\mathrm{D}(3X) = 3^2 \cdot \mathrm{D}X = 9 \cdot 6 = 54\).
\(\mathrm{D}(Y + 3X) = \mathrm{D}Y + \mathrm{D}(3X) = 4 + 54 = 58\).
г) \(\mathrm{D}(3Y) = 3^2 \cdot \mathrm{D}Y = 9 \cdot 4 = 36\).
\(\mathrm{D}(-2X) = (-2)^2 \cdot \mathrm{D}X = 4 \cdot 6 = 24\).
\(\mathrm{D}(3Y - 2X + 2) = \mathrm{D}(3Y) + \mathrm{D}(-2X) = 36 + 24 = 60\) — постоянное слагаемое 2 дисперсию не меняет.
Ответ: а) дисперсия величины \(X + Y\) равна 10; б) дисперсия величины \(X - Y\) равна 10; в) дисперсия величины \(Y + 3X\) равна 58; г) дисперсия величины \(3Y - 2X + 2\) равна 60.
Даны две независимые случайные величины \(X\) и \(Y\) с дисперсиями \(\mathrm{D}X = 6\) и \(\mathrm{D}Y = 4\). Найдите дисперсию случайной величины:
а) \(X + Y\);
б) \(X - Y\);
в) \(Y + 3X\);
г) \(3Y - 2X + 2\).
По условию величины \(X\) и \(Y\) независимы, \(\mathrm{D}X = 6\) и \(\mathrm{D}Y = 4\). Понадобятся два правила: дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий, а при линейной зависимости \(\mathrm{D}(aX + b) = a^2\mathrm{D}X\) — постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате, постоянное слагаемое дисперсию не меняет.
Независимы и величины, которые получаются из \(X\) и \(Y\) умножением на числа: \(X\) и \(-Y\), \(3X\) и \(Y\), \(-2X\) и \(3Y\). Действительно, любое событие, которое выражается через значения величины \(3X\), выражается и через значения \(X\) (событие \(3X = 6\) — то же самое, что \(X = 2\)). Так же события, связанные с величинами \(-Y\) и \(3Y\), выражаются через значения \(Y\), а события, связанные с величиной \(-2X\), — через значения \(X\). Для независимых \(X\) и \(Y\) любые два события, одно из которых выражается через значения \(X\), а другое — через значения \(Y\), независимы.
а) Величины \(X\) и \(Y\) независимы по условию, поэтому \[\mathrm{D}(X + Y) = \mathrm{D}X + \mathrm{D}Y = 6 + 4 = 10.\]
б) Разность \(X - Y = X + (-1) \cdot Y\) — сумма независимых величин \(X\) и \(-Y\), причём \(\mathrm{D}(-Y) = (-1)^2 \cdot \mathrm{D}Y = 1 \cdot 4 = 4\). Поэтому \[\mathrm{D}(X - Y) = \mathrm{D}X + \mathrm{D}(-Y) = 6 + 4 = 10.\]
в) Величины \(Y\) и \(3X\) независимы, \(\mathrm{D}(3X) = 3^2 \cdot \mathrm{D}X = 9 \cdot 6 = 54\), поэтому \[\mathrm{D}(Y + 3X) = \mathrm{D}Y + \mathrm{D}(3X) = 4 + 54 = 58.\]
г) Прибавление постоянной 2 к величине \(3Y - 2X\) дисперсию не меняет: \(\mathrm{D}(3Y - 2X + 2) = \mathrm{D}(3Y - 2X)\). Величина \(3Y - 2X\) — сумма независимых величин \(3Y\) и \(-2X\), у которых \(\mathrm{D}(3Y) = 3^2 \cdot \mathrm{D}Y = 9 \cdot 4 = 36\) и \(\mathrm{D}(-2X) = (-2)^2 \cdot \mathrm{D}X = 4 \cdot 6 = 24\). Поэтому \[\mathrm{D}(3Y - 2X + 2) = \mathrm{D}(3Y) + \mathrm{D}(-2X) = 36 + 24 = 60.\]
Ответ: а) дисперсия величины \(X + Y\) равна 10; б) дисперсия величины \(X - Y\) равна 10; в) дисперсия величины \(Y + 3X\) равна 58; г) дисперсия величины \(3Y - 2X + 2\) равна 60.
