Страница 181 номер 392, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Вычислите дисперсию распределения Бернулли:
а) \(B(0{,}4)\);
б) \(B\left(\dfrac{1}{3}\right)\).
\(B(p)\) — распределение бинарной величины \(I \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ q & p \end{pmatrix}\), где \(q = 1 - p\).
Величина \(I\) принимает только значения 0 и 1, а \(0^2 = 0\) и \(1^2 = 1\), поэтому \(I^2 = I\) и \(\mathrm{E}I^2 = \mathrm{E}I = p\).
По формуле \(\mathrm{D}I = \mathrm{E}I^2 - \mathrm{E}^2 I\) (математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания) \(\mathrm{D}I = p - p^2 = p(1 - p) = pq\).
а) Для \(B(0{,}4)\): \(p = 0{,}4\), \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\), то есть \(I \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}\): \[\mathrm{D}I = pq = 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}24.\]
б) Для \(B\left(\dfrac{1}{3}\right)\): \(p = \dfrac{1}{3}\), \(q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\), то есть \(I \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\): \[\mathrm{D}I = pq = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}.\]
Ответ: дисперсия распределения Бернулли равна: а) \(0{,}24\); б) \(\dfrac{2}{9}\).
Вычислите дисперсию распределения Бернулли:
а) \(B(0{,}4)\);
б) \(B\left(\dfrac{1}{3}\right)\).
Распределение Бернулли \(B(p)\) — это распределение бинарной величины \(I\), которая принимает значение 1 с вероятностью \(p\) и значение 0 с вероятностью \(q = 1 - p\): \(I \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ q & p \end{pmatrix}\). Дисперсия бинарной величины равна \(\mathrm{D}I = pq\): величина принимает только значения 0 и 1, а \(0^2 = 0\) и \(1^2 = 1\), поэтому \(I^2 = I\) и \(\mathrm{E}I^2 = \mathrm{E}I = p\). По формуле \(\mathrm{D}I = \mathrm{E}I^2 - \mathrm{E}^2 I\) (математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания) получаем \(\mathrm{D}I = p - p^2 = p(1 - p) = pq\).
а) У распределения \(B(0{,}4)\) вероятность значения 1 равна \(p = 0{,}4\), вероятность значения 0 равна \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\), то есть \(I \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}\). Дисперсия этого распределения равна \[\mathrm{D}I = pq = 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}24.\]
б) У распределения \(B\left(\dfrac{1}{3}\right)\) вероятность значения 1 равна \(p = \dfrac{1}{3}\), вероятность значения 0 равна \(q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\), то есть \(I \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\). Дисперсия этого распределения равна \[\mathrm{D}I = pq = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}.\]
Ответ: дисперсия распределения Бернулли равна: а) \(0{,}24\); б) \(\dfrac{2}{9}\).
