Страница 183 номер 400, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Известно стандартное отклонение \(\sqrt{\mathrm{D}X} = 12\) случайной величины \(X\). Найдите стандартное отклонение случайной величины \(Y\):
а) \(Y = -X\);
б) \(Y = 3 + X\);
в) \(Y = 3X\);
г) \(Y = 2 - 3X\).
Во всех пунктах \(Y = aX + b\), где \(a\) и \(b\) — постоянные, поэтому \(\mathrm{D}Y = a^2\mathrm{D}X\): постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате, постоянное слагаемое дисперсию не меняет. Корень из квадрата числа равен модулю этого числа, поэтому \[\begin{aligned} &\sqrt{\mathrm{D}Y} = \sqrt{a^2\mathrm{D}X} = {} \\ &= \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{\mathrm{D}X} = |a| \cdot \sqrt{\mathrm{D}X}. \end{aligned}\]
По условию \(\sqrt{\mathrm{D}X} = 12\).
а) \(Y = -X\), здесь \(a = -1\), \(b = 0\), поэтому \[\sqrt{\mathrm{D}Y} = |{-1}| \cdot 12 = 1 \cdot 12 = 12.\]
б) \(Y = 3 + X = 1 \cdot X + 3\), здесь \(a = 1\), \(b = 3\), поэтому \[\sqrt{\mathrm{D}Y} = |1| \cdot 12 = 12.\]
в) \(Y = 3X\), здесь \(a = 3\), \(b = 0\), поэтому \[\sqrt{\mathrm{D}Y} = |3| \cdot 12 = 36.\]
г) \(Y = 2 - 3X = (-3) \cdot X + 2\), здесь \(a = -3\), \(b = 2\), поэтому \[\sqrt{\mathrm{D}Y} = |{-3}| \cdot 12 = 3 \cdot 12 = 36.\]
Ответ: а) стандартное отклонение величины \(Y = -X\) равно 12; б) стандартное отклонение величины \(Y = 3 + X\) равно 12; в) стандартное отклонение величины \(Y = 3X\) равно 36; г) стандартное отклонение величины \(Y = 2 - 3X\) равно 36.
Известно стандартное отклонение \(\sqrt{\mathrm{D}X} = 12\) случайной величины \(X\). Найдите стандартное отклонение случайной величины \(Y\):
а) \(Y = -X\);
б) \(Y = 3 + X\);
в) \(Y = 3X\);
г) \(Y = 2 - 3X\).
Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии. Во всех пунктах \(Y = aX + b\), где \(a\) и \(b\) — постоянные, а при такой зависимости \(\mathrm{D}Y = a^2\mathrm{D}X\): постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате, постоянное слагаемое дисперсию не меняет. Поэтому \[\begin{aligned} &\sqrt{\mathrm{D}Y} = \sqrt{a^2\mathrm{D}X} = {} \\ &= \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{\mathrm{D}X} = |a| \cdot \sqrt{\mathrm{D}X}. \end{aligned}\]
Корень из квадрата числа равен модулю этого числа, поэтому стандартное отклонение умножается на модуль множителя и отрицательным не становится, а постоянное слагаемое не влияет и на стандартное отклонение. По условию \(\sqrt{\mathrm{D}X} = 12\).
а) \(Y = -X\), здесь \(a = -1\), \(b = 0\), поэтому \[\sqrt{\mathrm{D}Y} = |{-1}| \cdot 12 = 1 \cdot 12 = 12.\]
б) \(Y = 3 + X = 1 \cdot X + 3\), здесь \(a = 1\), \(b = 3\), поэтому \[\sqrt{\mathrm{D}Y} = |1| \cdot 12 = 12.\]
в) \(Y = 3X\), здесь \(a = 3\), \(b = 0\), поэтому \[\sqrt{\mathrm{D}Y} = |3| \cdot 12 = 36.\]
г) \(Y = 2 - 3X = (-3) \cdot X + 2\), здесь \(a = -3\), \(b = 2\), поэтому \[\sqrt{\mathrm{D}Y} = |{-3}| \cdot 12 = 3 \cdot 12 = 36.\]
Ответ: а) стандартное отклонение величины \(Y = -X\) равно 12; б) стандартное отклонение величины \(Y = 3 + X\) равно 12; в) стандартное отклонение величины \(Y = 3X\) равно 36; г) стандартное отклонение величины \(Y = 2 - 3X\) равно 36.
