Страница 194 номер 423, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Случайная величина \(X\) имеет математическое ожидание 5 и стандартное отклонение 1. В неравенство Чебышёва входит дисперсия, а дисперсия — это квадрат стандартного отклонения, поэтому \(\mathrm{D}X = 1^2 = 1\). Математическое ожидание и дисперсия у величины есть, значит, неравенство Чебышёва применимо, и для любого положительного числа \(a\) верно \(\mathrm{P}(|X - 5| \geqslant a) \leqslant \frac{1}{a^2}\).

а) Событие \(|X - 5| \geqslant 3\) — это отклонение от математического ожидания не меньше чем на 3, то есть \(a = 3\): \[\mathrm{P}(|X - 5| \geqslant 3) \leqslant \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}.\]

Здесь получилась оценка сверху.

б) Интервал \(3 < X < 7\) симметричен относительно математического ожидания: \(5 - 3 = 2\) и \(7 - 5 = 2\). Поэтому событие \(3 < X < 7\) — это то же самое, что \(|X - 5| < 2\), а противоположное ему событие \(|X - 5| \geqslant 2\) оценивается неравенством Чебышёва при \(a = 2\): \[\mathrm{P}(|X - 5| \geqslant 2) \leqslant \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}.\]

Вероятность противоположного события вычитается из единицы, и верхняя оценка вычитаемого даёт нижнюю оценку разности: \[\mathrm{P}(3 < X < 7) = 1 - \mathrm{P}(|X - 5| \geqslant 2) \geqslant 1 - \frac{1}{4} = 0{,}75.\]

Здесь получилась оценка снизу.

Ответ: а) \(\mathrm{P}(|X - 5| \geqslant 3) \leqslant \frac{1}{9}\) — оценка сверху; б) \(\mathrm{P}(3 < X < 7) \geqslant 0{,}75\) — оценка снизу.