Страница 181 номер 391, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(\mathrm{E}X = 20\) мм — математическое ожидание толщины доски \(X\)
\(\mathrm{D}X = 0{,}25\) — дисперсия толщины доски
\(\mathrm{P}\left(|X - 20| \leqslant 2\sqrt{\mathrm{D}X}\right) = 0{,}95\)
Найти: вероятность того, что толщина доски больше 21 мм или меньше 19 мм.
Решение:

Случайная величина \(X\) — «толщина доски» в миллиметрах. Число \(0{,}25\) — её дисперсия, а стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии: \(\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\) мм. Два стандартных отклонения составляют \(2 \cdot 0{,}5 = 1\) мм.

Значит, с вероятностью \(0{,}95\) толщина доски отличается от 20 мм не больше чем на 1 мм, то есть лежит в пределах от \(20 - 1 = 19\) мм до \(20 + 1 = 21\) мм включительно: \(\mathrm{P}(19 \leqslant X \leqslant 21) = 0{,}95\).

Толщина более 21 мм или менее 19 мм означает, что доска в эти пределы не попала. Это событие противоположно событию \(19 \leqslant X \leqslant 21\): каждая доска попадает ровно в одно из них. Поэтому \[\mathrm{P}(X < 19 \text{ или } X > 21) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05.\]

Ответ: вероятность того, что случайно выбранная доска толще 21 мм или тоньше 19 мм, равна \(0{,}05\).