Страница 188 номер 410, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ 0{,}4 & 0{,}24 & 0{,}144 & \ldots & 0{,}4 \cdot 0{,}6^{k-1} & \ldots \end{pmatrix}.\]
У геометрического распределения \(G(p)\) те же значения \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots\) и вероятности \(p;\ qp;\ q^2p;\ \ldots;\ q^{k-1}p;\ \ldots\), где \(q = 1 - p\). Здесь первая вероятность \(p = 0{,}4\), \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\), и остальные с этим согласуются: \(qp = 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}24\), \(q^2p = 0{,}36 \cdot 0{,}4 = 0{,}144\), общий член \(0{,}4 \cdot 0{,}6^{k-1}\) — это \(q^{k-1}p\). Значит, \(X \sim G(0{,}4)\).
\[\mathrm{E}X = \frac{1}{p} = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5.\] \[\mathrm{D}X = \frac{q}{p^2} = \frac{0{,}6}{0{,}4^2} = \frac{0{,}6}{0{,}16} = 3{,}75.\]
Ответ: \(\mathrm{E}X = 2{,}5\); \(\mathrm{D}X = 3{,}75\).
Случайная величина \(X\) имеет распределение \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ 0{,}4 & 0{,}24 & 0{,}144 & \ldots & 0{,}4 \cdot 0{,}6^{k-1} & \ldots \end{pmatrix}.\]
Сравним его с геометрическим распределением \(G(p)\): значения \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots\) те же, а вероятности там равны \(p;\ qp;\ q^2p;\ \ldots;\ q^{k-1}p;\ \ldots\), где \(q = 1 - p\). Первая вероятность равна \(p\), поэтому здесь \(p = 0{,}4\) и \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\). Остальные вероятности с этим согласуются: \(qp = 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}24\), \(q^2p = 0{,}36 \cdot 0{,}4 = 0{,}144\), а общий член \(0{,}4 \cdot 0{,}6^{k-1}\) — это в точности \(q^{k-1}p\). Значит, \(X \sim G(0{,}4)\).
Математическое ожидание геометрического распределения равно единице, делённой на вероятность успеха: \[\mathrm{E}X = \frac{1}{p} = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5.\]
Дисперсия геометрического распределения равна вероятности неудачи, делённой на квадрат вероятности успеха: \[\mathrm{D}X = \frac{q}{p^2} = \frac{0{,}6}{0{,}4^2} = \frac{0{,}6}{0{,}16} = 3{,}75.\]
Ответ: \(\mathrm{E}X = 2{,}5\); \(\mathrm{D}X = 3{,}75\).
