Страница 194 номер 426, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Кубик считаем правильным: все шесть граней равновозможны, а бросания не влияют друг на друга. \(X_1\) — число очков при первом бросании, \(X_2\) — при втором, \(S = X_1 + X_2\) — сумма очков; каждая из величин \(X_1\) и \(X_2\) принимает значения \(1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6\), каждое с вероятностью \(\frac{1}{6}\).
\[\mathrm{E}X_1 = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5.\]
\(\mathrm{E}X_1^2 = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}\) — ожидание квадрата.
\(\mathrm{E}^2X_1 = 3{,}5^2 = \frac{49}{4}\) — квадрат ожидания.
\[\mathrm{D}X_1 = \mathrm{E}X_1^2 - \mathrm{E}^2X_1 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}.\]
У второго бросания распределение такое же: \(\mathrm{E}X_2 = 3{,}5\), \(\mathrm{D}X_2 = \frac{35}{12}\).
\(\mathrm{E}S = 3{,}5 + 3{,}5 = 7\) — ожидание суммы равно сумме ожиданий.
\(\mathrm{D}S = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}\) — величины \(X_1\) и \(X_2\) независимы, а дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий.
Два стандартных отклонения суммы — это \(2\sqrt{\mathrm{D}S} = 2\sqrt{\frac{35}{6}}\), то есть нужно событие \(|S - 7| \geqslant 2\sqrt{\frac{35}{6}}\).
Обе части неотрицательны, поэтому неравенство можно возвести в квадрат: \((S - 7)^2 \geqslant 4 \cdot \frac{35}{6} = \frac{70}{3}\).
Сумма очков — целое число от 2 до 12, поэтому отклонение \(|S - 7|\) принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Квадраты двух наибольших отклонений: \(4^2 = 16 = \frac{48}{3} < \frac{70}{3}\), а \(5^2 = 25 = \frac{75}{3} \geqslant \frac{70}{3}\), значит, событию отвечает только отклонение 5 (для наглядности: \(2\sqrt{\frac{35}{6}} \approx 4{,}83\)).
Отклонение 5 дают лишь суммы \(S = 2\) и \(S = 12\): из \(6 \cdot 6 = 36\) равновозможных пар очков сумму 2 даёт пара \((1;\ 1)\), сумму 12 — пара \((6;\ 6)\), других нет.
\[\mathrm{P}\left(|S - 7| \geqslant 2\sqrt{\mathrm{D}S}\right) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}.\]
У суммы \(S\) есть и ожидание, и дисперсия, поэтому применимо неравенство Чебышёва; при \(a = 2\sqrt{\mathrm{D}S}\): \[\mathrm{P}\left(|S - 7| \geqslant 2\sqrt{\mathrm{D}S}\right) \leqslant \frac{\mathrm{D}S}{\left(2\sqrt{\mathrm{D}S}\right)^2} = \frac{\mathrm{D}S}{4\mathrm{D}S} = \frac{1}{4}.\]
Ответ: точное значение \(\mathrm{P}\left(|S - 7| \geqslant 2\sqrt{\mathrm{D}S}\right) = \frac{1}{18}\); неравенство Чебышёва даёт оценку \(\mathrm{P}\left(|S - 7| \geqslant 2\sqrt{\mathrm{D}S}\right) \leqslant \frac{1}{4}\).
Игральный кубик бросают дважды, \(S\) — сумма выпавших очков. Нужно точно вычислить вероятность того, что сумма отклоняется от своего среднего значения не меньше чем на два стандартных отклонения, а затем оценить эту вероятность неравенством Чебышёва. Кубик считаем правильным: все шесть граней равновозможны, а бросания не влияют друг на друга.
Пусть \(X_1\) — число очков при первом бросании, \(X_2\) — при втором; тогда \(S = X_1 + X_2\). Каждая из этих величин принимает значения \(1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6\), каждое с вероятностью \(\frac{1}{6}\), поэтому \[\mathrm{E}X_1 = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5.\]
Ожидание квадрата равно \(\mathrm{E}X_1^2 = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}\), квадрат ожидания равен \(\mathrm{E}^2X_1 = 3{,}5^2 = \frac{49}{4}\), а дисперсия равна ожиданию квадрата минус квадрат ожидания: \[\mathrm{D}X_1 = \mathrm{E}X_1^2 - \mathrm{E}^2X_1 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}.\]
У второго бросания распределение такое же, поэтому \(\mathrm{E}X_2 = 3{,}5\) и \(\mathrm{D}X_2 = \frac{35}{12}\).
Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий: \(\mathrm{E}S = 3{,}5 + 3{,}5 = 7\). Бросания не влияют друг на друга, поэтому величины \(X_1\) и \(X_2\) независимы, а дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий: \[\mathrm{D}S = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}.\]
Два стандартных отклонения суммы — это \(2\sqrt{\mathrm{D}S} = 2\sqrt{\frac{35}{6}}\), так что речь идёт о событии \(|S - 7| \geqslant 2\sqrt{\frac{35}{6}}\).
Обе части этого неравенства неотрицательны, поэтому его можно возвести в квадрат: событие равносильно неравенству \((S - 7)^2 \geqslant 4 \cdot \frac{35}{6} = \frac{70}{3}\). Сумма очков — целое число от 2 до 12, поэтому отклонение \(|S - 7|\) принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Сравним с \(\frac{70}{3}\) квадраты двух наибольших отклонений: \(4^2 = 16 = \frac{48}{3} < \frac{70}{3}\), а \(5^2 = 25 = \frac{75}{3} \geqslant \frac{70}{3}\). Значит, событию отвечает только отклонение 5 — отклонения на 4 уже не хватает (для наглядности: \(2\sqrt{\frac{35}{6}} \approx 4{,}83\)).
Отклонение 5 дают лишь суммы \(S = 2\) и \(S = 12\). При двух бросаниях получается \(6 \cdot 6 = 36\) равновозможных пар очков; сумму 2 даёт одна пара \((1;\ 1)\), сумму 12 — одна пара \((6;\ 6)\), других нет. Поэтому точное значение вероятности равно \[\mathrm{P}\left(|S - 7| \geqslant 2\sqrt{\mathrm{D}S}\right) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}.\]
У суммы \(S\) есть и математическое ожидание, и дисперсия, поэтому применимо неравенство Чебышёва. Возьмём в нём \(a = 2\sqrt{\mathrm{D}S}\): \[\mathrm{P}\left(|S - 7| \geqslant 2\sqrt{\mathrm{D}S}\right) \leqslant \frac{\mathrm{D}S}{\left(2\sqrt{\mathrm{D}S}\right)^2} = \frac{\mathrm{D}S}{4\mathrm{D}S} = \frac{1}{4}.\]
Дисперсия сократилась: оценка \(\frac{1}{4}\) не зависит от того, чему равна \(\mathrm{D}S\), и годится для любой величины, у которой есть дисперсия, отличная от нуля. Точное значение \(\frac{1}{18}\) в четыре с половиной раза меньше этой оценки — неравенство Чебышёва даёт здесь грубую оценку.
Ответ: точное значение \(\mathrm{P}\left(|S - 7| \geqslant 2\sqrt{\mathrm{D}S}\right) = \frac{1}{18}\); неравенство Чебышёва даёт оценку \(\mathrm{P}\left(|S - 7| \geqslant 2\sqrt{\mathrm{D}S}\right) \leqslant \frac{1}{4}\).
