Страница 181 номер 390, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава VIII. Рассеивание случайных величин. §36. Дисперсия и стандартное отклонение дискретной случайной величины. Страница 181. Номер 390

Дано:
\(p_1 = 0{,}74\) — вероятность покупки одной бутылки
\(p_2 = 0{,}24\) — вероятность покупки упаковки из 2 бутылок
\(p_3 = 0{,}02\) — вероятность покупки упаковки из 16 бутылок
Найти: дисперсию и стандартное отклонение числа бутылок в одной покупке (с округлением до сотых).
Решение:

Случайная величина \(X\) — «число бутылок в одной покупке», её значения — 1, 2 и 16: считаются бутылки, а не упаковки. \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 16 \\ 0{,}74 & 0{,}24 & 0{,}02 \end{pmatrix}.\]

\[\mathrm{E}X = 1 \cdot 0{,}74 + 2 \cdot 0{,}24 + 16 \cdot 0{,}02 = 0{,}74 + 0{,}48 + 0{,}32 = 1{,}54.\]

\(X^2\) принимает значения \(1^2 = 1\), \(2^2 = 4\) и \(16^2 = 256\) с теми же вероятностями: \[X^2 \sim \begin{pmatrix} 1 & 4 & 256 \\ 0{,}74 & 0{,}24 & 0{,}02 \end{pmatrix}.\]

\[\mathrm{E}X^2 = 1 \cdot 0{,}74 + 4 \cdot 0{,}24 + 256 \cdot 0{,}02 = 0{,}74 + 0{,}96 + 5{,}12 = 6{,}82.\]

а) \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\) — математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания: \[\mathrm{D}X = 6{,}82 - 1{,}54^2 = 6{,}82 - 2{,}3716 = 4{,}4484 \approx 4{,}45.\]

б) Стандартное отклонение измеряется в бутылках: \[\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{4{,}4484} = 2{,}109\ldots \approx 2{,}11.\]

Ответ: а) дисперсия числа бутылок в одной покупке \(\mathrm{D}X \approx 4{,}45\); б) стандартное отклонение \(\sqrt{\mathrm{D}X} \approx 2{,}11\) бутылки.

Случайная величина \(X\) — «число бутылок в одной покупке». Покупатель берёт одну бутылку, упаковку из двух или упаковку из шестнадцати бутылок, поэтому значения величины \(X\) — числа 1, 2 и 16: считаются бутылки, а не упаковки. Других вариантов покупки нет: \(0{,}74 + 0{,}24 + 0{,}02 = 1\). Распределение величины \(X\): \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 16 \\ 0{,}74 & 0{,}24 & 0{,}02 \end{pmatrix}.\]

Математическое ожидание: \[\mathrm{E}X = 1 \cdot 0{,}74 + 2 \cdot 0{,}24 + 16 \cdot 0{,}02 = 0{,}74 + 0{,}48 + 0{,}32 = 1{,}54.\]

Величина \(X^2\) принимает значения \(1^2 = 1\), \(2^2 = 4\) и \(16^2 = 256\) с теми же вероятностями: \[X^2 \sim \begin{pmatrix} 1 & 4 & 256 \\ 0{,}74 & 0{,}24 & 0{,}02 \end{pmatrix}.\]

Её математическое ожидание: \[\mathrm{E}X^2 = 1 \cdot 0{,}74 + 4 \cdot 0{,}24 + 256 \cdot 0{,}02 = 0{,}74 + 0{,}96 + 5{,}12 = 6{,}82.\]

а) По формуле \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\) (математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания): \[\mathrm{D}X = 6{,}82 - 1{,}54^2 = 6{,}82 - 2{,}3716 = 4{,}4484 \approx 4{,}45.\]

б) Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии; оно измеряется в тех же единицах, что и сама величина, то есть в бутылках: \[\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{4{,}4484} = 2{,}109\ldots \approx 2{,}11.\]