Страница 180 номер 388, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Существует ли такая случайная величина \(X\), что:
а) \(\mathrm{E}X = -8\) и \(\mathrm{E}X^2 = 59\);
б) \(\mathrm{E}X = 7\) и \(\mathrm{E}X^2 = 50\)?
\(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\) — ожидание квадрата минус квадрат ожидания (\(\mathrm{E}^2 X\) — квадрат числа \(\mathrm{E}X\)).
Дисперсия не бывает отрицательной: по определению \(\mathrm{D}X = (x_1 - \mathrm{E}X)^2 \cdot p_1 + (x_2 - \mathrm{E}X)^2 \cdot p_2 + \ldots\), где \(x_1, x_2, \ldots\) — значения величины, \(p_1, p_2, \ldots\) — их вероятности; в каждом слагаемом оба множителя неотрицательны, поэтому \(\mathrm{D}X \geqslant 0\).
а) \(\mathrm{E}^2 X = (-8)^2 = 64\).
\[\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X = 59 - 64 = -5.\]
Дисперсия получилась отрицательной, значит, такой случайной величины не существует.
б) \(\mathrm{D}X = 50 - 7^2 = 50 - 49 = 1\) — противоречия нет, но существование такой величины нужно показать примером.
Подойдёт величина, которая с равными вероятностями отклоняется от 7 на 1 вверх и на 1 вниз: \[X \sim \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}.\]
\(0{,}5 + 0{,}5 = 1\) — сумма вероятностей.
\(\mathrm{E}X = 6 \cdot 0{,}5 + 8 \cdot 0{,}5 = 3 + 4 = 7\).
\(\mathrm{E}X^2 = 36 \cdot 0{,}5 + 64 \cdot 0{,}5 = 18 + 32 = 50\).
Оба равенства выполняются, значит, такая случайная величина существует.
Ответ: а) не существует; б) существует, например \(X \sim \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}\).
Существует ли такая случайная величина \(X\), что:
а) \(\mathrm{E}X = -8\) и \(\mathrm{E}X^2 = 59\);
б) \(\mathrm{E}X = 7\) и \(\mathrm{E}X^2 = 50\)?
Запись \(\mathrm{E}X^2\) означает математическое ожидание величины \(X^2\) (ожидание квадрата), а \(\mathrm{E}^2 X\) — квадрат числа \(\mathrm{E}X\). Дисперсия выражается через них формулой \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\): ожидание квадрата минус квадрат ожидания.
Дисперсия не бывает отрицательной. По определению \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}(X - \mathrm{E}X)^2 = (x_1 - \mathrm{E}X)^2 \cdot p_1 + (x_2 - \mathrm{E}X)^2 \cdot p_2 + \ldots\), где \(x_1, x_2, \ldots\) — значения величины, а \(p_1, p_2, \ldots\) — их вероятности. Каждое слагаемое — произведение квадрата числа на вероятность, оба множителя неотрицательны, поэтому \(\mathrm{D}X \geqslant 0\).
а) Если \(\mathrm{E}X = -8\) и \(\mathrm{E}X^2 = 59\), то \(\mathrm{E}^2 X = (-8)^2 = 64\) и \[\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X = 59 - 64 = -5.\]
Дисперсия получилась отрицательной, а так не бывает. Значит, такой случайной величины не существует.
б) Если \(\mathrm{E}X = 7\) и \(\mathrm{E}X^2 = 50\), то \(\mathrm{D}X = 50 - 7^2 = 50 - 49 = 1\). Противоречия нет, но существование такой величины нужно показать примером. Дисперсия должна равняться 1, поэтому подойдёт величина, которая с равными вероятностями отклоняется от числа 7 на 1 вверх и на 1 вниз: квадрат её отклонения от 7 всегда равен 1. Её распределение: \[X \sim \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}.\]
Сумма вероятностей \(0{,}5 + 0{,}5 = 1\), математическое ожидание \(\mathrm{E}X = 6 \cdot 0{,}5 + 8 \cdot 0{,}5 = 3 + 4 = 7\), ожидание квадрата \(\mathrm{E}X^2 = 36 \cdot 0{,}5 + 64 \cdot 0{,}5 = 18 + 32 = 50\) — оба равенства выполняются. Значит, такая случайная величина существует.
Ответ: а) не существует; б) существует, например \(X \sim \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}\).
