Страница 180 номер 385, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Рассмотрите диаграммы симметричных распределений и расположите их в порядке возрастания дисперсии.
Вертикальная ось не подписана числами, но у каждой диаграммы есть горизонтальная сетка с постоянным шагом, и высоту столбика измеряем в делениях этой сетки. Вероятность значения пропорциональна высоте его столбика, а сумма вероятностей равна 1, поэтому вероятность — высота столбика, делённая на сумму высот всех столбиков той же диаграммы. Шаг сетки у диаграмм разный, поэтому высоты сравниваем только внутри одной диаграммы.
Все четыре распределения симметричны относительно нуля (столбики над противоположными значениями одинаковой высоты), поэтому у каждой величины \(\mathrm{E}X = 0\) и \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}(X - \mathrm{E}X)^2 = \mathrm{E}X^2\) — математическое ожидание квадрата величины. Значения \(k\) и \(-k\) дают в \(\mathrm{E}X^2\) равные слагаемые, значение 0 — нулевое.
Диаграмма 11. Все семь столбиков по 8 делений: \(7 \cdot 8 = 56\) — делений всего.
\(\frac{8}{56} = \frac{1}{7}\) — вероятность каждого значения: \[X \sim \begin{pmatrix} -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} \end{pmatrix}.\]
\[\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 = \frac{2 \cdot (9 + 4 + 1)}{7} = \frac{28}{7} = 4.\]
Диаграмма 12. Столбики над значениями \(-3\), \(-2\), \(-1\), 0, 1, 2, 3 имеют высоты \(0{,}5\); 1; \(2{,}5\); 5; \(2{,}5\); 1; \(0{,}5\) деления: столбики над \(\pm 3\) и \(\pm 1\) кончаются посередине между линиями сетки. В половинах деления высоты равны 1, 2, 5, 10, 5, 2, 1.
\(1 + 2 + 5 + 10 + 5 + 2 + 1 = 26\) — половин всего: \[X \sim \begin{pmatrix} -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \frac{1}{26} & \frac{2}{26} & \frac{5}{26} & \frac{10}{26} & \frac{5}{26} & \frac{2}{26} & \frac{1}{26} \end{pmatrix}.\]
\[\begin{aligned} &\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 = \frac{2 \cdot (9 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 1 \cdot 5)}{26} = {} \\ &= \frac{2 \cdot 22}{26} = \frac{22}{13} \approx 1{,}69. \end{aligned}\]
Диаграмма 13. Значения \(-6\), \(-4\), \(-2\), 0, 2, 4, 6, высоты столбиков 7, 3, 2, 1, 2, 3, 7 делений.
\(7 + 3 + 2 + 1 + 2 + 3 + 7 = 25\) — делений всего: \[X \sim \begin{pmatrix} -6 & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ \frac{7}{25} & \frac{3}{25} & \frac{2}{25} & \frac{1}{25} & \frac{2}{25} & \frac{3}{25} & \frac{7}{25} \end{pmatrix}.\]
\[\begin{aligned} &\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 = \frac{2 \cdot (36 \cdot 7 + 16 \cdot 3 + 4 \cdot 2)}{25} = {} \\ &= \frac{2 \cdot 308}{25} = \frac{616}{25} = 24{,}64. \end{aligned}\]
Диаграмма 14. Значения \(-3\), \(-2\), \(-1\), 0, 1, 2, 3, высоты столбиков те же, что у диаграммы 13: 7, 3, 2, 1, 2, 3, 7 делений, всего 25 делений: \[X \sim \begin{pmatrix} -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \frac{7}{25} & \frac{3}{25} & \frac{2}{25} & \frac{1}{25} & \frac{2}{25} & \frac{3}{25} & \frac{7}{25} \end{pmatrix}.\]
\[\begin{aligned} &\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 = \frac{2 \cdot (9 \cdot 7 + 4 \cdot 3 + 1 \cdot 2)}{25} = {} \\ &= \frac{2 \cdot 77}{25} = \frac{154}{25} = 6{,}16. \end{aligned}\]
Проверка: сумма вероятностей равна 1 в каждом распределении: \(7 \cdot \frac{1}{7} = 1\) (диаграмма 11), \(\frac{26}{26} = 1\) (диаграмма 12), \(\frac{25}{25} = 1\) (диаграммы 13 и 14).
\(\frac{22}{13} < 4 < 6{,}16 < 24{,}64\) — дисперсии диаграмм 12, 11, 14, 13.
Ответ: в порядке возрастания дисперсии диаграммы идут так: 12, 11, 14, 13 (дисперсии \(\frac{22}{13}\); 4; \(6{,}16\); \(24{,}64\)).
Рассмотрите диаграммы симметричных распределений и расположите их в порядке возрастания дисперсии.
Вертикальная ось диаграмм не подписана числами, зато у каждой диаграммы есть горизонтальная сетка с постоянным шагом, и высоту столбика можно измерить в делениях этой сетки. Вероятность значения пропорциональна высоте его столбика, а сумма вероятностей всех значений равна 1. Значит, вероятность значения — это высота его столбика, делённая на сумму высот всех столбиков той же диаграммы. Шаг сетки у диаграмм разный, поэтому высоты столбиков сравниваются только внутри одной диаграммы.
Все четыре распределения симметричны относительно нуля: противоположные значения, например \(-3\) и 3, имеют столбики одинаковой высоты. У распределения, симметричного относительно числа \(a\), математическое ожидание равно \(a\), поэтому у каждой из четырёх величин \(\mathrm{E}X = 0\). Тогда по определению дисперсии \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}(X - \mathrm{E}X)^2 = \mathrm{E}(X - 0)^2 = \mathrm{E}X^2\): дисперсия равна математическому ожиданию квадрата величины. Значения \(k\) и \(-k\) имеют одинаковый квадрат \(k^2\) и одинаковую вероятность, поэтому их слагаемые в сумме для \(\mathrm{E}X^2\) равны, а значение 0 даёт нулевое слагаемое.
Диаграмма 11. Все семь столбиков одинаковой высоты — по 8 делений, всего \(7 \cdot 8 = 56\) делений. Вероятность каждого значения равна \(\frac{8}{56} = \frac{1}{7}\): \[X \sim \begin{pmatrix} -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} \end{pmatrix}.\]
Дисперсия этой величины равна \[\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 = \frac{2 \cdot (9 + 4 + 1)}{7} = \frac{28}{7} = 4.\]
Диаграмма 12. Столбики над значениями \(-3\), \(-2\), \(-1\), 0, 1, 2, 3 имеют высоты \(0{,}5\); 1; \(2{,}5\); 5; \(2{,}5\); 1; \(0{,}5\) деления: столбики над \(\pm 3\) и \(\pm 1\) кончаются посередине между линиями сетки. Удобнее мерить высоты в половинах деления: 1, 2, 5, 10, 5, 2, 1, всего \(1 + 2 + 5 + 10 + 5 + 2 + 1 = 26\) половин. Поэтому \[X \sim \begin{pmatrix} -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \frac{1}{26} & \frac{2}{26} & \frac{5}{26} & \frac{10}{26} & \frac{5}{26} & \frac{2}{26} & \frac{1}{26} \end{pmatrix}.\]
Дисперсия этой величины равна \[\begin{aligned} &\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 = \frac{2 \cdot (9 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 1 \cdot 5)}{26} = {} \\ &= \frac{2 \cdot 22}{26} = \frac{22}{13} \approx 1{,}69. \end{aligned}\]
Диаграмма 13. Значения здесь \(-6\), \(-4\), \(-2\), 0, 2, 4, 6, высоты столбиков 7, 3, 2, 1, 2, 3, 7 делений, всего \(7 + 3 + 2 + 1 + 2 + 3 + 7 = 25\) делений: \[X \sim \begin{pmatrix} -6 & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ \frac{7}{25} & \frac{3}{25} & \frac{2}{25} & \frac{1}{25} & \frac{2}{25} & \frac{3}{25} & \frac{7}{25} \end{pmatrix}.\]
Дисперсия этой величины равна \[\begin{aligned} &\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 = \frac{2 \cdot (36 \cdot 7 + 16 \cdot 3 + 4 \cdot 2)}{25} = {} \\ &= \frac{2 \cdot 308}{25} = \frac{616}{25} = 24{,}64. \end{aligned}\]
Диаграмма 14. Значения \(-3\), \(-2\), \(-1\), 0, 1, 2, 3, а высоты столбиков те же, что у диаграммы 13: 7, 3, 2, 1, 2, 3, 7 делений, всего 25 делений: \[X \sim \begin{pmatrix} -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \frac{7}{25} & \frac{3}{25} & \frac{2}{25} & \frac{1}{25} & \frac{2}{25} & \frac{3}{25} & \frac{7}{25} \end{pmatrix}.\]
Дисперсия этой величины равна \[\begin{aligned} &\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 = \frac{2 \cdot (9 \cdot 7 + 4 \cdot 3 + 1 \cdot 2)}{25} = {} \\ &= \frac{2 \cdot 77}{25} = \frac{154}{25} = 6{,}16. \end{aligned}\]
Проверка: сумма вероятностей равна 1 в каждом распределении: \(7 \cdot \frac{1}{7} = 1\) (диаграмма 11), \(\frac{26}{26} = 1\) (диаграмма 12), \(\frac{25}{25} = 1\) (диаграммы 13 и 14).
Сравним дисперсии: \(\frac{22}{13} < 4 < 6{,}16 < 24{,}64\). Диаграммы 11 и 14 на глаз сравнить трудно: значения у них одни и те же, от \(-3\) до 3. Решает счёт: у диаграммы 14 больше половины всей вероятности, \(\frac{14}{25}\), приходится на крайние значения \(\pm 3\), самые далёкие от нуля, поэтому её дисперсия больше.
Ответ: в порядке возрастания дисперсии диаграммы идут так: 12, 11, 14, 13 (дисперсии \(\frac{22}{13}\); 4; \(6{,}16\); \(24{,}64\)).
