Страница 184 номер 405, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава VIII. Рассеивание случайных величин. §37. Свойства дисперсии и стандартного отклонения. Страница 184. Номер 405

Дано:
\(V\) — скорость по показанию спидометра, км/ч
\(\mathrm{D}V = 4\)
1 миля \(= 1609\) м
Найти: стандартное отклонение показаний скорости в метрах в секунду и в милях в час.
Решение:

\(\sqrt{\mathrm{D}V} = \sqrt{4} = 2\) (км/ч) — стандартное отклонение в километрах в час.

В других единицах скорость умножается на положительное число \(a\), поэтому \(\sqrt{a^2\mathrm{D}V} = a \cdot \sqrt{\mathrm{D}V}\) — множитель выносится за знак дисперсии в квадрате, а стандартное отклонение умножается на тот же множитель.

а) 1 км \(= 1000\) м, 1 ч \(= 3600\) с, поэтому 1 км/ч \(= \dfrac{1000}{3600} = \dfrac{5}{18}\) м/с и скорость в метрах в секунду \(Y = \dfrac{5}{18}V\).
\(\sqrt{\mathrm{D}Y} = \dfrac{5}{18} \cdot 2 = \dfrac{5}{9} \approx 0{,}556\) (м/с) — стандартное отклонение скорости в метрах в секунду.

б) 1 км \(= 1000\) м \(= \dfrac{1000}{1609}\) мили, поэтому 1 км/ч \(= \dfrac{1000}{1609}\) мили в час и скорость в милях в час \(Z = \dfrac{1000}{1609}V\).
\(\sqrt{\mathrm{D}Z} = \dfrac{1000}{1609} \cdot 2 = \dfrac{2000}{1609} \approx 1{,}243\) (мили в час) — стандартное отклонение скорости в милях в час.

Ответ: а) стандартное отклонение скорости в метрах в секунду \(\dfrac{5}{9} \approx 0{,}556\) м/с; б) стандартное отклонение скорости в милях в час \(\dfrac{2000}{1609} \approx 1{,}243\) мили в час.

Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии. В километрах в час оно равно \(\sqrt{\mathrm{D}V} = \sqrt{4} = 2\) (км/ч).

При переходе к другим единицам скорость умножается на положительное число \(a\). Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате, а корень из квадрата положительного числа равен самому числу, поэтому стандартное отклонение умножается на тот же множитель: \(\sqrt{a^2\mathrm{D}V} = a \cdot \sqrt{\mathrm{D}V}\).

а) 1 км \(= 1000\) м, 1 ч \(= 3600\) с, поэтому скорость 1 км/ч — это \(\dfrac{1000}{3600} = \dfrac{5}{18}\) м/с. Скорость в метрах в секунду \(Y = \dfrac{5}{18}V\), множитель \(a = \dfrac{5}{18}\).
\(\sqrt{\mathrm{D}Y} = \dfrac{5}{18} \cdot 2 = \dfrac{5}{9} \approx 0{,}556\) (м/с) — стандартное отклонение скорости в метрах в секунду.

б) 1 миля \(= 1609\) м, поэтому 1 км \(= 1000\) м \(= \dfrac{1000}{1609}\) мили, и скорость 1 км/ч равна \(\dfrac{1000}{1609}\) мили в час. Скорость в милях в час \(Z = \dfrac{1000}{1609}V\), множитель \(a = \dfrac{1000}{1609}\): миля длиннее километра, поэтому миль в час получается меньше, чем километров в час.
\(\sqrt{\mathrm{D}Z} = \dfrac{1000}{1609} \cdot 2 = \dfrac{2000}{1609} \approx 1{,}243\) (мили в час) — стандартное отклонение скорости в милях в час.