Вопросы после параграфа §37 на странице 183, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Если \(a\) и \(b\) — постоянные, а величина \(X\) имеет дисперсию, то \(\mathrm{D}(aX + b) = a^2\mathrm{D}X\): постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате, а постоянное слагаемое на дисперсию не влияет.
\(\mathrm{D}b = 0^2 \cdot \mathrm{D}X = 0\) — дисперсия постоянной \(b = 0 \cdot X + b\) равна нулю.
Если величины \(X\) и \(Y\) независимы и каждая из них имеет дисперсию, то \(\mathrm{D}(X + Y) = \mathrm{D}X + \mathrm{D}Y\); то же верно для любого числа попарно независимых величин: \(\mathrm{D}(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = \mathrm{D}X_1 + \mathrm{D}X_2 + \ldots + \mathrm{D}X_n\). Без независимости это свойство применять нельзя.
\(\sqrt{\mathrm{D}(aX + b)} = \sqrt{a^2\mathrm{D}X} = |a| \cdot \sqrt{\mathrm{D}X}\) — следствие первого свойства: корень из квадрата числа равен модулю этого числа, поэтому стандартное отклонение умножается на модуль множителя и не зависит от постоянного слагаемого.
Ответ: если \(Y = aX + b\), где \(a\) и \(b\) — постоянные, и \(X\) имеет дисперсию, то \(\mathrm{D}Y = a^2\mathrm{D}X\) (отсюда \(\sqrt{\mathrm{D}Y} = |a| \cdot \sqrt{\mathrm{D}X}\)); дисперсия постоянной равна нулю: \(\mathrm{D}b = 0\); если \(X\) и \(Y\) независимы и имеют дисперсии, то \(\mathrm{D}(X + Y) = \mathrm{D}X + \mathrm{D}Y\), и то же верно для любого числа попарно независимых величин.
Когда слагаемые независимы и каждое из них имеет дисперсию; если слагаемых больше двух, достаточно, чтобы они были попарно независимы.
Для величин \(X\) и \(Y\), имеющих дисперсии, по формуле \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\) (ожидание квадрата минус квадрат ожидания) \(\mathrm{D}(X + Y) = \mathrm{E}(X + Y)^2 - \mathrm{E}^2(X + Y)\), где \(\mathrm{E}(X + Y)^2 = \mathrm{E}X^2 + 2\mathrm{E}(XY) + \mathrm{E}Y^2\) и \(\mathrm{E}^2(X + Y) = (\mathrm{E}X + \mathrm{E}Y)^2 = \mathrm{E}^2 X + 2\mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y + \mathrm{E}^2 Y\). Вычитая второе равенство из первого и собирая \(\mathrm{D}X\) и \(\mathrm{D}Y\), получаем \[\mathrm{D}(X + Y) = \mathrm{D}X + \mathrm{D}Y + 2(\mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y).\]
Для независимых величин \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\), и последнее слагаемое обращается в нуль; для зависимых это равенство может нарушаться.
Пример: \(X\) — число орлов при одном броске симметричной монеты, бинарная величина со значениями 0 и 1 и вероятностями \(p = q = 0{,}5\), поэтому \(\mathrm{D}X = pq = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Слагаемые \(X\) и \(X\) зависимы, а множитель 2 выносится за знак дисперсии в квадрате: \[\mathrm{D}(X + X) = \mathrm{D}(2X) = 4 \cdot 0{,}25 = 1.\]
\(0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5\) — сумма дисперсий слагаемых, вдвое меньше дисперсии суммы.
Ответ: когда слагаемые независимы и каждое имеет дисперсию (если слагаемых больше двух — попарно независимы); для зависимых слагаемых равенство может нарушаться: например, \(\mathrm{D}(X + X) = 4\mathrm{D}X\), а не \(2\mathrm{D}X\).
Нет. \(X - Y = X + (-1) \cdot Y\), и величины \(X\) и \(-Y\) независимы: событие, которое выражается через значения \(-Y\), выражается и через значения \(Y\) (событие \(-Y = 2\) — то же самое, что \(Y = -2\)), а для независимых \(X\) и \(Y\) события, выраженные через значения \(X\) и через значения \(Y\), независимы. Дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий, а множитель \(-1\) выносится за знак дисперсии в квадрате: \[\begin{aligned} &\mathrm{D}(X - Y) = \mathrm{D}X + \mathrm{D}(-Y) = {} \\ &= \mathrm{D}X + (-1)^2 \cdot \mathrm{D}Y = \mathrm{D}X + \mathrm{D}Y. \end{aligned}\]
Неверная формула может дать даже отрицательное число, а дисперсия — ожидание величины \((X - \mathrm{E}X)^2\), которая не принимает отрицательных значений, — отрицательной не бывает.
Пример: \(X\) — удвоенное число орлов при броске одной симметричной монеты, \(Y\) — учетверённое число орлов при броске другой; монеты бросают независимо, поэтому \(X\) и \(Y\) независимы.
\(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\) — дисперсия числа орлов при одном броске.
\(\mathrm{D}X = 2^2 \cdot 0{,}25 = 1\).
\(\mathrm{D}Y = 4^2 \cdot 0{,}25 = 4\).
\(1 - 4 = -3\) — «дисперсия» \(\mathrm{D}(X - Y)\) по формуле из вопроса, чего быть не может.
\(\mathrm{D}(X - Y) = 1 + 4 = 5\) — по верному равенству.
Проверка: \(X\) принимает значения 0 и 2, \(Y\) — значения 0 и 4, каждое с вероятностью \(0{,}5\); каждое из четырёх сочетаний имеет вероятность \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\), и все четыре значения разности разные: \[X - Y \sim \begin{pmatrix} -4 & -2 & 0 & 2 \\ 0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}25 \end{pmatrix}.\]
\(\mathrm{E}(X - Y) = 0{,}25 \cdot (-4 - 2 + 0 + 2) = -1\).
\(\mathrm{E}(X - Y)^2 = 0{,}25 \cdot (16 + 4 + 0 + 4) = 6\).
\(\mathrm{D}(X - Y) = 6 - (-1)^2 = 5\) — ровно \(\mathrm{D}X + \mathrm{D}Y\).
Ответ: нет, формула неверна; для независимых \(X\) и \(Y\) верно равенство \(\mathrm{D}(X - Y) = \mathrm{D}X + \mathrm{D}Y\) — дисперсии складываются, а не вычитаются.
Первое свойство (линейная зависимость). Если случайные величины связаны равенством \(Y = aX + b\), где \(a\) и \(b\) — постоянные, и величина \(X\) имеет дисперсию, то \(\mathrm{D}Y = a^2\mathrm{D}X\). Иначе говоря, \(\mathrm{D}(aX + b) = a^2\mathrm{D}X\): постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате, а постоянное слагаемое на дисперсию не влияет. Например, при \(\mathrm{D}X = 2\) дисперсия величины \(3X - 1\) равна \(3^2 \cdot 2 = 18\), а дисперсия величины \(-X\) равна \((-1)^2 \cdot 2 = 2\): знак множителя при возведении в квадрат пропадает.
Следствие (дисперсия постоянной). Дисперсия постоянной величины равна нулю: \(\mathrm{D}b = 0\). Постоянную \(b\) можно записать как \(0 \cdot X + b\), где \(X\) — любая величина, имеющая дисперсию, и тогда \(\mathrm{D}b = 0^2 \cdot \mathrm{D}X = 0\). Это понятно и без вычислений: постоянная величина не имеет рассеивания, она всегда равна своему математическому ожиданию. Например, если величина при любом исходе опыта равна 5, то её ожидание равно 5, а дисперсия равна \((5 - 5)^2 \cdot 1 = 0\).
Второе свойство (дисперсия суммы). Если случайные величины \(X\) и \(Y\) независимы и каждая из них имеет дисперсию, то дисперсия их суммы существует и равна сумме дисперсий: \(\mathrm{D}(X + Y) = \mathrm{D}X + \mathrm{D}Y\). Это верно и для любого числа попарно независимых величин: \(\mathrm{D}(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = \mathrm{D}X_1 + \mathrm{D}X_2 + \ldots + \mathrm{D}X_n\). Без независимости свойство применять нельзя — в отличие от математического ожидания суммы. Например, число орлов при одном броске симметричной монеты — бинарная величина с дисперсией \(pq = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Броски независимы, поэтому число орлов при двух бросках имеет дисперсию \(0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5\).
Стандартное отклонение. Из первого свойства следует правило для стандартного отклонения: \(\sqrt{\mathrm{D}(aX + b)} = \sqrt{a^2\mathrm{D}X} = |a| \cdot \sqrt{\mathrm{D}X}\), потому что корень из квадрата числа равен модулю этого числа. Значит, стандартное отклонение умножается на модуль множителя и не зависит от постоянного слагаемого. Например, при \(\sqrt{\mathrm{D}X} = 3\) стандартное отклонение величины \(5 - 2X\) равно \(|{-2}| \cdot 3 = 6\).
Ответ: если \(Y = aX + b\), где \(a\) и \(b\) — постоянные, и \(X\) имеет дисперсию, то \(\mathrm{D}Y = a^2\mathrm{D}X\) (отсюда \(\sqrt{\mathrm{D}Y} = |a| \cdot \sqrt{\mathrm{D}X}\)); дисперсия постоянной равна нулю: \(\mathrm{D}b = 0\); если \(X\) и \(Y\) независимы и имеют дисперсии, то \(\mathrm{D}(X + Y) = \mathrm{D}X + \mathrm{D}Y\), и то же верно для любого числа попарно независимых величин.
Дисперсию суммы можно находить как сумму дисперсий слагаемых, если слагаемые независимы и каждое из них имеет дисперсию. Если слагаемых больше двух, достаточно, чтобы они были попарно независимы, то есть независимыми были любые два из них.
Условие независимости возникает при выводе формулы. Для двух величин \(X\) и \(Y\), имеющих дисперсии, запишем дисперсию суммы по формуле \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\) (ожидание квадрата минус квадрат ожидания): \(\mathrm{D}(X + Y) = \mathrm{E}(X + Y)^2 - \mathrm{E}^2(X + Y)\). По свойствам математического ожидания \(\mathrm{E}(X + Y)^2 = \mathrm{E}X^2 + 2\mathrm{E}(XY) + \mathrm{E}Y^2\) и \(\mathrm{E}^2(X + Y) = (\mathrm{E}X + \mathrm{E}Y)^2 = \mathrm{E}^2 X + 2\mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y + \mathrm{E}^2 Y\). Вычитая второе равенство из первого и собирая \(\mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X = \mathrm{D}X\) и \(\mathrm{E}Y^2 - \mathrm{E}^2 Y = \mathrm{D}Y\), получаем \[\mathrm{D}(X + Y) = \mathrm{D}X + \mathrm{D}Y + 2(\mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y).\]
Последнее слагаемое обращается в нуль, если \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\). Для независимых величин это равенство верно: математическое ожидание произведения независимых величин равно произведению их ожиданий. Для зависимых величин оно может нарушаться, и тогда дисперсия суммы отличается от суммы дисперсий.
Например, пусть \(X\) — число орлов при одном броске симметричной монеты. Это бинарная величина: она принимает значения 0 и 1 с вероятностями \(p = q = 0{,}5\), поэтому \(\mathrm{D}X = pq = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Сложим величину \(X\) с ней самой. Слагаемые \(X\) и \(X\) зависимы: значение второго слагаемого всегда совпадает со значением первого. Сумма \(X + X = 2X\), а при умножении величины на 2 дисперсия умножается на \(2^2 = 4\): \[\mathrm{D}(X + X) = \mathrm{D}(2X) = 4 \cdot 0{,}25 = 1.\]
Сумма же дисперсий слагаемых равна \(0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5\) — вдвое меньше. Столько составляет дисперсия числа орлов при двух независимых бросках, а не при удвоении результата одного броска.
Ответ: когда слагаемые независимы и каждое имеет дисперсию (если слагаемых больше двух — попарно независимы); для зависимых слагаемых равенство может нарушаться: например, \(\mathrm{D}(X + X) = 4\mathrm{D}X\), а не \(2\mathrm{D}X\).
Нет, формула неверна. Разность можно записать как сумму: \(X - Y = X + (-1) \cdot Y\). Величины \(X\) и \(-Y\) независимы: любое событие, которое выражается через значения величины \(-Y\), выражается и через значения \(Y\) (например, событие \(-Y = 2\) — то же самое, что \(Y = -2\)), а для независимых \(X\) и \(Y\) любые два события, одно из которых выражается через значения \(X\), а другое — через значения \(Y\), независимы. Дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий, а множитель \(-1\) выносится за знак дисперсии в квадрате: \[\begin{aligned} &\mathrm{D}(X - Y) = \mathrm{D}X + \mathrm{D}(-Y) = {} \\ &= \mathrm{D}X + (-1)^2 \cdot \mathrm{D}Y = \mathrm{D}X + \mathrm{D}Y. \end{aligned}\]
Значит, при вычитании независимых величин их дисперсии не вычитаются, а складываются.
Неверная формула может дать даже отрицательное число, а дисперсия отрицательной не бывает: \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}(X - \mathrm{E}X)^2\) — математическое ожидание величины \((X - \mathrm{E}X)^2\), которая не принимает отрицательных значений. Пусть \(X\) — удвоенное число орлов при броске одной симметричной монеты, а \(Y\) — учетверённое число орлов при броске другой. Число орлов при одном броске — бинарная величина с дисперсией \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\), поэтому \(\mathrm{D}X = 2^2 \cdot 0{,}25 = 1\) и \(\mathrm{D}Y = 4^2 \cdot 0{,}25 = 4\). Монеты бросают независимо, поэтому величины \(X\) и \(Y\) независимы. Формула из вопроса дала бы «дисперсию» \(\mathrm{D}(X - Y) = 1 - 4 = -3\), чего быть не может, а верное равенство даёт \(\mathrm{D}(X - Y) = 1 + 4 = 5\).
Проверка: величина \(X\) принимает значения 0 и 2, величина \(Y\) — значения 0 и 4, каждое с вероятностью \(0{,}5\). Монеты бросают независимо, поэтому каждое из четырёх сочетаний имеет вероятность \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\): значение \(-4\) получается при \(X = 0\) и \(Y = 4\), значение \(-2\) — при \(X = 2\) и \(Y = 4\), значение 0 — при \(X = 0\) и \(Y = 0\), значение 2 — при \(X = 2\) и \(Y = 0\). Все четыре значения разные, поэтому \[X - Y \sim \begin{pmatrix} -4 & -2 & 0 & 2 \\ 0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}25 \end{pmatrix}.\]
Сумма вероятностей \(4 \cdot 0{,}25 = 1\). Отсюда \(\mathrm{E}(X - Y) = 0{,}25 \cdot (-4 - 2 + 0 + 2) = -1\), \(\mathrm{E}(X - Y)^2 = 0{,}25 \cdot (16 + 4 + 0 + 4) = 6\), и по формуле «ожидание квадрата минус квадрат ожидания» \(\mathrm{D}(X - Y) = 6 - (-1)^2 = 5\) — ровно \(\mathrm{D}X + \mathrm{D}Y\).
Ответ: нет, формула неверна; для независимых \(X\) и \(Y\) верно равенство \(\mathrm{D}(X - Y) = \mathrm{D}X + \mathrm{D}Y\) — дисперсии складываются, а не вычитаются.
