Страница 181 номер 395, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Неизвестное число \(x\) — одно из значений величины \(Y\). Дисперсия \(\mathrm{D}Y = \mathrm{E}Y^2 - \mathrm{E}^2 Y\) (математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания) — квадратный трёхчлен относительно \(x\); нужно найти, при каком \(x\) он принимает наименьшее значение.
а) \(Y \sim \begin{pmatrix} -2 & x & 2 \\ 0{,}4 & 0{,}5 & 0{,}1 \end{pmatrix}\).
\(\mathrm{E}Y = -2 \cdot 0{,}4 + x \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}1 = 0{,}5x - 0{,}6\).
\(\mathrm{E}Y^2 = 4 \cdot 0{,}4 + x^2 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}1 = 0{,}5x^2 + 2\).
\[\begin{aligned} &\mathrm{D}Y = 0{,}5x^2 + 2 - (0{,}5x - 0{,}6)^2 = {} \\ &= 0{,}5x^2 + 2 - (0{,}25x^2 - 0{,}6x + 0{,}36) = {} \\ &= 0{,}25x^2 + 0{,}6x + 1{,}64. \end{aligned}\]
Коэффициент при \(x^2\) равен \(0{,}25\) и положителен — парабола ветвями вверх, наименьшее значение трёхчлен принимает в вершине: \[x = -\frac{0{,}6}{2 \cdot 0{,}25} = -\frac{0{,}6}{0{,}5} = -1{,}2.\]
б) \(Y \sim \begin{pmatrix} 0 & x & 2 \\ 0{,}1 & 0{,}7 & 0{,}2 \end{pmatrix}\).
\(\mathrm{E}Y = 0 \cdot 0{,}1 + x \cdot 0{,}7 + 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}7x + 0{,}4\).
\(\mathrm{E}Y^2 = 0 \cdot 0{,}1 + x^2 \cdot 0{,}7 + 4 \cdot 0{,}2 = 0{,}7x^2 + 0{,}8\).
\[\begin{aligned} &\mathrm{D}Y = 0{,}7x^2 + 0{,}8 - (0{,}7x + 0{,}4)^2 = {} \\ &= 0{,}7x^2 + 0{,}8 - (0{,}49x^2 + 0{,}56x + 0{,}16) = {} \\ &= 0{,}21x^2 - 0{,}56x + 0{,}64. \end{aligned}\]
Коэффициент при \(x^2\) равен \(0{,}21\) и положителен, поэтому наименьшее значение трёхчлен принимает в вершине параболы: \[x = \frac{0{,}56}{2 \cdot 0{,}21} = \frac{0{,}56}{0{,}42} = \frac{56}{42} = \frac{4}{3}.\]
Ответ: дисперсия наименьшая при а) \(x = -1{,}2\); б) \(x = \dfrac{4}{3}\).
Неизвестное число \(x\) — одно из значений величины \(Y\), а вероятности всех значений известны. По формуле \(\mathrm{D}Y = \mathrm{E}Y^2 - \mathrm{E}^2 Y\) (математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания) дисперсия окажется квадратным трёхчленом относительно \(x\), и нужно найти, при каком \(x\) он принимает наименьшее значение.
а) Величина \(Y\) имеет распределение \[Y \sim \begin{pmatrix} -2 & x & 2 \\ 0{,}4 & 0{,}5 & 0{,}1 \end{pmatrix}.\]
Её математическое ожидание \(\mathrm{E}Y = -2 \cdot 0{,}4 + x \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}1 = 0{,}5x - 0{,}6\), математическое ожидание квадрата \(\mathrm{E}Y^2 = 4 \cdot 0{,}4 + x^2 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}1 = 0{,}5x^2 + 2\). Дисперсия: \[\begin{aligned} &\mathrm{D}Y = 0{,}5x^2 + 2 - (0{,}5x - 0{,}6)^2 = {} \\ &= 0{,}5x^2 + 2 - (0{,}25x^2 - 0{,}6x + 0{,}36) = {} \\ &= 0{,}25x^2 + 0{,}6x + 1{,}64. \end{aligned}\]
Коэффициент при \(x^2\) равен \(0{,}25\) и положителен, поэтому графиком трёхчлена служит парабола ветвями вверх, и наименьшее значение трёхчлен принимает в её вершине. Абсцисса вершины равна коэффициенту при \(x\), взятому с противоположным знаком и делённому на удвоенный коэффициент при \(x^2\): \[x = -\frac{0{,}6}{2 \cdot 0{,}25} = -\frac{0{,}6}{0{,}5} = -1{,}2.\]
б) Величина \(Y\) имеет распределение \[Y \sim \begin{pmatrix} 0 & x & 2 \\ 0{,}1 & 0{,}7 & 0{,}2 \end{pmatrix}.\]
Её математическое ожидание \(\mathrm{E}Y = 0 \cdot 0{,}1 + x \cdot 0{,}7 + 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}7x + 0{,}4\), математическое ожидание квадрата \(\mathrm{E}Y^2 = 0 \cdot 0{,}1 + x^2 \cdot 0{,}7 + 4 \cdot 0{,}2 = 0{,}7x^2 + 0{,}8\). Дисперсия: \[\begin{aligned} &\mathrm{D}Y = 0{,}7x^2 + 0{,}8 - (0{,}7x + 0{,}4)^2 = {} \\ &= 0{,}7x^2 + 0{,}8 - (0{,}49x^2 + 0{,}56x + 0{,}16) = {} \\ &= 0{,}21x^2 - 0{,}56x + 0{,}64. \end{aligned}\]
Коэффициент при \(x^2\) равен \(0{,}21\) и положителен, поэтому наименьшее значение трёхчлен принимает в вершине параболы: \[x = \frac{0{,}56}{2 \cdot 0{,}21} = \frac{0{,}56}{0{,}42} = \frac{56}{42} = \frac{4}{3}.\]
Ответ: дисперсия наименьшая при а) \(x = -1{,}2\); б) \(x = \dfrac{4}{3}\).
