Страница 194 номер 421, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Значения величины \(X\) неотрицательны, математическое ожидание \(\mathrm{E}X\) существует, число \(a\) положительно — неравенство Маркова применимо и даёт оценку сверху: \[\mathrm{P}(X \geqslant a) \leqslant \frac{\mathrm{E}X}{a}.\]
События \(X < a\) и \(X \geqslant a\) противоположны, поэтому \(\mathrm{P}(X < a) = 1 - \mathrm{P}(X \geqslant a)\), а верхняя оценка вычитаемого даёт нижнюю оценку разности: \[\mathrm{P}(X < a) = 1 - \mathrm{P}(X \geqslant a) \geqslant 1 - \frac{\mathrm{E}X}{a}.\]
Содержательна эта оценка только при \(a > \mathrm{E}X\): лишь тогда правая часть положительна.
Ответ: \(\mathrm{P}(X < a) \geqslant 1 - \frac{\mathrm{E}X}{a}\).
Случайная величина \(X\) принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание \(\mathrm{E}X\), буква \(a\) — произвольное положительное число. Нужна нижняя оценка вероятности события \(X < a\).
Оба условия применимости неравенства Маркова выполнены: значения величины неотрицательны, математическое ожидание существует. Значит, для положительного числа \(a\) верна оценка сверху \[\mathrm{P}(X \geqslant a) \leqslant \frac{\mathrm{E}X}{a}.\]
События \(X < a\) и \(X \geqslant a\) противоположны: в каждом опыте выполняется ровно одно из них. Поэтому \(\mathrm{P}(X < a) = 1 - \mathrm{P}(X \geqslant a)\).
Чем больше вычитаемое, тем меньше разность, поэтому верхняя оценка для \(\mathrm{P}(X \geqslant a)\) превращается в нижнюю оценку для \(\mathrm{P}(X < a)\): \[\mathrm{P}(X < a) = 1 - \mathrm{P}(X \geqslant a) \geqslant 1 - \frac{\mathrm{E}X}{a}.\]
Содержательна эта оценка только при \(a > \mathrm{E}X\): лишь тогда правая часть положительна. Если же \(a \leqslant \mathrm{E}X\), то правая часть неположительна, и оценка ничего не сообщает — вероятность и так не меньше 0.
Ответ: \(\mathrm{P}(X < a) \geqslant 1 - \frac{\mathrm{E}X}{a}\).
