Страница 180 номер 389, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Для случайной величины выполняется равенство \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2\). Чему равно математическое ожидание этой случайной величины?
\(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\) — ожидание квадрата минус квадрат ожидания, где \(\mathrm{E}^2 X = (\mathrm{E}X)^2\).
По условию \(\mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X = \mathrm{E}X^2\), откуда \(\mathrm{E}^2 X = (\mathrm{E}X)^2 = 0\) и \(\mathrm{E}X = 0\).
И наоборот, у любой величины с \(\mathrm{E}X = 0\) выполняется \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - 0^2 = \mathrm{E}X^2\).
Ответ: математическое ожидание этой случайной величины равно 0.
Для случайной величины выполняется равенство \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2\). Чему равно математическое ожидание этой случайной величины?
Запись \(\mathrm{E}X^2\) означает математическое ожидание величины \(X^2\) (ожидание квадрата), а \(\mathrm{E}^2 X\) — квадрат математического ожидания, то есть \((\mathrm{E}X)^2\). Дисперсия выражается через них формулой \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\): ожидание квадрата минус квадрат ожидания.
По условию \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2\), поэтому \(\mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X = \mathrm{E}X^2\), откуда \(\mathrm{E}^2 X = 0\), то есть \((\mathrm{E}X)^2 = 0\). Квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Значит, \(\mathrm{E}X = 0\).
И наоборот, у любой величины с \(\mathrm{E}X = 0\) выполняется равенство \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - 0^2 = \mathrm{E}X^2\).
Ответ: математическое ожидание этой случайной величины равно 0.
