Страница 181 номер 397, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Кости правильные: у каждой кости все грани равновозможны. \(X\) — число очков на кубике, от 1 до 6, каждое значение с вероятностью \(\frac{1}{6}\); \(Y\) — на додекаэдре, от 1 до 12, каждое с вероятностью \(\frac{1}{12}\); \(Z\) — на икосаэдре, от 1 до 20, каждое с вероятностью \(\frac{1}{20}\). Стандартное отклонение \(s\) у кубика равно \(\sqrt{\mathrm{D}X}\), у додекаэдра — \(\sqrt{\mathrm{D}Y}\), у икосаэдра — \(\sqrt{\mathrm{D}Z}\).
Значения каждой кости равновероятны и расположены симметрично относительно середины между крайними значениями, поэтому ожидание равно этой середине:
\(\mathrm{E}X = \frac{1 + 6}{2} = 3{,}5\);
\(\mathrm{E}Y = \frac{1 + 12}{2} = 6{,}5\);
\(\mathrm{E}Z = \frac{1 + 20}{2} = 10{,}5\).
Суммы квадратов значений и ожидания квадратов:
\(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91\), \(\mathrm{E}X^2 = \frac{91}{6}\);
\(49 + 64 + 81 + 100 + 121 + 144 = 559\), \(91 + 559 = 650\), \(\mathrm{E}Y^2 = \frac{650}{12}\);
\(169 + 196 + 225 + 256 + 289 + 324 + 361 + 400 = 2220\), \(650 + 2220 = 2870\), \(\mathrm{E}Z^2 = \frac{2870}{20}\).
\(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\) — математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания: \[\mathrm{D}X = \frac{91}{6} - 3{,}5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}.\]
\[\mathrm{D}Y = \frac{650}{12} - 6{,}5^2 = \frac{650}{12} - \frac{169}{4} = \frac{650 - 507}{12} = \frac{143}{12}.\] \[\mathrm{D}Z = \frac{2870}{20} - 10{,}5^2 = 143{,}5 - 110{,}25 = 33{,}25 = \frac{133}{4}.\]
Все значения кости с \(n\) гранями лежат между крайними значениями 1 и \(n\), расстояние между которыми равно \(n - 1\). Интервал вмещает все значения, только если содержит и 1, и \(n\), а для этого его длина должна быть больше \(n - 1\). И наоборот, интервал длиной больше \(n - 1\) с серединой \(\frac{1 + n}{2}\) содержит все значения: от середины до каждого крайнего значения расстояние равно \(\frac{n - 1}{2}\), а оно меньше половины длины интервала. Значит, интервал длиной \(ks\) (\(k\) — одно из чисел 2, 3, 4) вмещает все значения тогда и только тогда, когда \(ks > n - 1\); обе части положительны, поэтому сравниваем квадраты: \(k^2 s^2 > (n - 1)^2\), где \(s^2\) — дисперсия числа очков.
Кубик: \(n - 1 = 6 - 1 = 5\) и \((n - 1)^2 = 25\).
\((2s)^2 = 4\mathrm{D}X = 4 \cdot \frac{35}{12} = \frac{35}{3} < 25\) — не вмещает;
\((3s)^2 = 9\mathrm{D}X = 9 \cdot \frac{35}{12} = \frac{105}{4} = 26{,}25 > 25\) — вмещает;
\((4s)^2 = 16\mathrm{D}X = 16 \cdot \frac{35}{12} = \frac{140}{3} > 25\) — вмещает.
Додекаэдр: \(n - 1 = 12 - 1 = 11\) и \((n - 1)^2 = 121\).
\((2s)^2 = 4\mathrm{D}Y = 4 \cdot \frac{143}{12} = \frac{143}{3} < 121\) — не вмещает;
\((3s)^2 = 9\mathrm{D}Y = 9 \cdot \frac{143}{12} = \frac{429}{4} = 107{,}25 < 121\) — не вмещает;
\((4s)^2 = 16\mathrm{D}Y = 16 \cdot \frac{143}{12} = \frac{572}{3} > 121\) — вмещает.
Икосаэдр: \(n - 1 = 20 - 1 = 19\) и \((n - 1)^2 = 361\).
\((2s)^2 = 4\mathrm{D}Z = 4 \cdot \frac{133}{4} = 133 < 361\) — не вмещает;
\((3s)^2 = 9\mathrm{D}Z = 9 \cdot \frac{133}{4} = \frac{1197}{4} = 299{,}25 < 361\) — не вмещает;
\((4s)^2 = 16\mathrm{D}Z = 16 \cdot \frac{133}{4} = 532 > 361\) — вмещает.
а) Интервал длиной \(2s\) не вмещает всех значений ни у одной из трёх костей.
б) Интервал длиной \(3s\) вмещает все значения только у кубика.
в) Интервал длиной \(4s\) вмещает все значения у всех трёх костей.
Ответ: а) ни для одной из костей; б) только для кубика; в) для всех трёх костей.
Кости считаем правильными: у каждой кости все грани равновозможны. Обозначим число очков на кубике буквой \(X\), на додекаэдре — буквой \(Y\), на икосаэдре — буквой \(Z\). Величина \(X\) принимает значения от 1 до 6, каждое с вероятностью \(\frac{1}{6}\); величина \(Y\) — от 1 до 12, каждое с вероятностью \(\frac{1}{12}\); величина \(Z\) — от 1 до 20, каждое с вероятностью \(\frac{1}{20}\). Стандартное отклонение \(s\) у кубика равно \(\sqrt{\mathrm{D}X}\), у додекаэдра — \(\sqrt{\mathrm{D}Y}\), у икосаэдра — \(\sqrt{\mathrm{D}Z}\).
Значения каждой величины равновероятны и расположены симметрично относительно середины между крайними значениями, поэтому \(\mathrm{E}X = \frac{1 + 6}{2} = 3{,}5\), \(\mathrm{E}Y = \frac{1 + 12}{2} = 6{,}5\), \(\mathrm{E}Z = \frac{1 + 20}{2} = 10{,}5\).
Суммы квадратов значений: \(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91\); для чисел до 12 к ним добавляется \(49 + 64 + 81 + 100 + 121 + 144 = 559\), всего \(91 + 559 = 650\); для чисел до 20 — ещё \(169 + 196 + 225 + 256 + 289 + 324 + 361 + 400 = 2220\), всего \(650 + 2220 = 2870\). Поэтому \(\mathrm{E}X^2 = \frac{91}{6}\), \(\mathrm{E}Y^2 = \frac{650}{12}\), \(\mathrm{E}Z^2 = \frac{2870}{20}\).
По формуле \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\) (математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания) дисперсия числа очков на кубике равна \[\mathrm{D}X = \frac{91}{6} - 3{,}5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}.\]
Дисперсия числа очков на додекаэдре: \[\mathrm{D}Y = \frac{650}{12} - 6{,}5^2 = \frac{650}{12} - \frac{169}{4} = \frac{650 - 507}{12} = \frac{143}{12}.\]
Дисперсия числа очков на икосаэдре: \[\mathrm{D}Z = \frac{2870}{20} - 10{,}5^2 = 143{,}5 - 110{,}25 = 33{,}25 = \frac{133}{4}.\]
Все значения кости с \(n\) гранями лежат между крайними значениями 1 и \(n\), расстояние между которыми равно \(n - 1\). Интервал может вместить все значения, только если он содержит и 1, и \(n\), а для этого его длина должна быть больше \(n - 1\). И наоборот, если длина интервала больше \(n - 1\) и его середина — точка \(\frac{1 + n}{2}\) (математическое ожидание числа очков), то он содержит все значения: от середины до каждого крайнего значения расстояние равно \(\frac{n - 1}{2}\), а оно меньше половины длины интервала. Значит, все значения попадают в интервал длиной \(ks\), где \(k\) — одно из чисел 2, 3, 4, тогда и только тогда, когда \(ks > n - 1\). Обе части этого неравенства положительны, поэтому его можно заменить неравенством для квадратов: \(k^2 s^2 > (n - 1)^2\), где \(s^2\) — дисперсия числа очков.
Кубик: \(n - 1 = 6 - 1 = 5\) и \((n - 1)^2 = 25\).
\((2s)^2 = 4\mathrm{D}X = 4 \cdot \frac{35}{12} = \frac{35}{3} < 25\) — интервал длиной \(2s\) слишком короткий;
\((3s)^2 = 9\mathrm{D}X = 9 \cdot \frac{35}{12} = \frac{105}{4} = 26{,}25 > 25\) — интервал длиной \(3s\) достаточно длинный;
\((4s)^2 = 16\mathrm{D}X = 16 \cdot \frac{35}{12} = \frac{140}{3} > 25\) — интервал длиной \(4s\) достаточно длинный.
Додекаэдр: \(n - 1 = 12 - 1 = 11\) и \((n - 1)^2 = 121\).
\((2s)^2 = 4\mathrm{D}Y = 4 \cdot \frac{143}{12} = \frac{143}{3} < 121\) — интервал длиной \(2s\) слишком короткий;
\((3s)^2 = 9\mathrm{D}Y = 9 \cdot \frac{143}{12} = \frac{429}{4} = 107{,}25 < 121\) — интервал длиной \(3s\) слишком короткий;
\((4s)^2 = 16\mathrm{D}Y = 16 \cdot \frac{143}{12} = \frac{572}{3} > 121\) — интервал длиной \(4s\) достаточно длинный.
Икосаэдр: \(n - 1 = 20 - 1 = 19\) и \((n - 1)^2 = 361\).
\((2s)^2 = 4\mathrm{D}Z = 4 \cdot \frac{133}{4} = 133 < 361\) — интервал длиной \(2s\) слишком короткий;
\((3s)^2 = 9\mathrm{D}Z = 9 \cdot \frac{133}{4} = \frac{1197}{4} = 299{,}25 < 361\) — интервал длиной \(3s\) слишком короткий;
\((4s)^2 = 16\mathrm{D}Z = 16 \cdot \frac{133}{4} = 532 > 361\) — интервал длиной \(4s\) достаточно длинный.
а) Интервал длиной \(2s\) не вмещает всех значений ни у одной из трёх костей.
б) Интервал длиной \(3s\) вмещает все значения только у кубика.
в) Интервал длиной \(4s\) вмещает все значения у всех трёх костей.
Ответ: а) ни для одной из костей; б) только для кубика; в) для всех трёх костей.
