Страница 181 номер 393, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Величина \(X\) принимает значение 1 с вероятностью \(p\) и значение 0 с вероятностью \(q = 1 - p\), где \(0 \leqslant p \leqslant 1\): \[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ q & p \end{pmatrix}.\]
а) \(0^2 = 0\) и \(1^2 = 1\), поэтому \(X^2 = X\) и \(\mathrm{E}X^2 = \mathrm{E}X = 0 \cdot q + 1 \cdot p = p\).
\(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\) — математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания: \[\mathrm{D}X = p - p^2 = p(1 - p) = pq.\]
График \(\mathrm{D}X = p - p^2\) — дуга параболы над отрезком \([0;\ 1]\), ветви вниз: коэффициент при \(p^2\) равен \(-1\).
\(p(1 - p) = 0\) при \(p = 0\) и при \(p = 1\) — нули функции.
\(p = \frac{0 + 1}{2} = 0{,}5\) — абсцисса вершины, посередине между нулями.
\(0{,}5 - 0{,}5^2 = 0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}25\) — значение функции в вершине.
При \(p = 0{,}25\) и при \(p = 0{,}75\) дисперсия равна \(0{,}25 \cdot 0{,}75 = 0{,}1875\).
Концы отрезка входят в область определения, поэтому точки \((0;\ 0)\) и \((1;\ 0)\) закрашены.
б) \(p - p^2 = 0{,}25 - (p^2 - p + 0{,}25) = 0{,}25 - (p - 0{,}5)^2\).
Квадрат \((p - 0{,}5)^2\) неотрицателен и равен нулю только при \(p = 0{,}5\), а это число принадлежит отрезку \([0;\ 1]\). Значит, \(\mathrm{D}X \leqslant 0{,}25\) при всех \(p\) от 0 до 1, и наибольшее значение \(0{,}25\) дисперсия принимает при \(p = 0{,}5\), то есть когда оба значения величины равновероятны.
Ответ: а) \(\mathrm{D}X = p - p^2\) при \(0 \leqslant p \leqslant 1\); б) при \(p = 0{,}5\) (наибольшее значение дисперсии \(0{,}25\)).
Бинарная случайная величина \(X\) принимает значение 1 с вероятностью \(p\) и значение 0 с вероятностью \(q = 1 - p\), где \(0 \leqslant p \leqslant 1\): \[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ q & p \end{pmatrix}.\]
а) Величина \(X\) принимает только значения 0 и 1, а \(0^2 = 0\) и \(1^2 = 1\), поэтому \(X^2 = X\) и \(\mathrm{E}X^2 = \mathrm{E}X = 0 \cdot q + 1 \cdot p = p\). По формуле \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\) (математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания) \[\mathrm{D}X = p - p^2 = p(1 - p) = pq.\]
Значит, дисперсия — квадратичная функция от \(p\): \(\mathrm{D}X = p - p^2\), причём рассматривать её нужно только на отрезке \([0;\ 1]\). Коэффициент при \(p^2\) равен \(-1\), он отрицателен, поэтому графиком служит парабола ветвями вниз. Функция обращается в нуль при \(p(1 - p) = 0\), то есть при \(p = 0\) и при \(p = 1\). Вершина параболы лежит посередине между нулями, при \(p = \frac{0 + 1}{2} = 0{,}5\), и значение функции в ней равно \(0{,}5 - 0{,}5^2 = 0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}25\). Ещё две точки: при \(p = 0{,}25\) и при \(p = 0{,}75\) дисперсия равна \(0{,}25 \cdot 0{,}75 = 0{,}1875\). Концы отрезка входят в область определения, поэтому точки \((0;\ 0)\) и \((1;\ 0)\) на графике закрашены.
Построим график — дугу параболы над отрезком \([0;\ 1]\) с вершиной \((0{,}5;\ 0{,}25)\).
б) Выделим полный квадрат: \[p - p^2 = 0{,}25 - (p^2 - p + 0{,}25) = 0{,}25 - (p - 0{,}5)^2.\]
Квадрат \((p - 0{,}5)^2\) неотрицателен и равен нулю только при \(p = 0{,}5\), а это число принадлежит отрезку \([0;\ 1]\). Значит, \(\mathrm{D}X \leqslant 0{,}25\) при всех \(p\) от 0 до 1, и наибольшее значение \(0{,}25\) дисперсия принимает при \(p = 0{,}5\), то есть когда оба значения величины равновероятны.
Ответ: а) \(\mathrm{D}X = p - p^2\) при \(0 \leqslant p \leqslant 1\); б) при \(p = 0{,}5\) (наибольшее значение дисперсии \(0{,}25\)).
