Страница 194 номер 429, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Кубик считаем правильным: все шесть граней равновозможны, а бросания не влияют друг на друга. \(X\) — число выпадений единицы в 120 бросаниях; испытания одинаковы и независимы, вероятность успеха \(p = \frac{1}{6}\), неудачи — \(q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\), поэтому \(X\) имеет биномиальное распределение \(Bi\left(120,\ \frac{1}{6}\right)\): \[\mathrm{E}X = 120 \cdot \frac{1}{6} = 20, \qquad \mathrm{D}X = 120 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{50}{3}.\]
а) Число выпадений единицы неотрицательно, ожидание есть — неравенство Маркова применимо при \(a = 40\): \[\mathrm{P}(X \geqslant 40) \leqslant \frac{\mathrm{E}X}{40} = \frac{20}{40} = 0{,}5.\]
б) Если единица выпала не менее 40 раз, то \(X - 20 \geqslant 20\), а тогда и \(|X - 20| \geqslant 20\): первое событие содержится во втором, а вероятность события не больше вероятности содержащего его события: \[\mathrm{P}(X \geqslant 40) \leqslant \mathrm{P}(|X - 20| \geqslant 20).\]
У величины \(X\) есть и ожидание, и дисперсия, поэтому при \(a = 20\) неравенство Чебышёва даёт \[\mathrm{P}(|X - 20| \geqslant 20) \leqslant \frac{\mathrm{D}X}{20^2} = \frac{50}{3 \cdot 400} = \frac{50}{1200} = \frac{1}{24}.\]
Следовательно, \(\mathrm{P}(X \geqslant 40) \leqslant \frac{1}{24}\).
Сильнее та оценка, которая даёт меньшее число: \(\frac{1}{24} < \frac{1}{2} = 0{,}5\), поэтому сильнее вторая оценка — неравенства Чебышёва.
Ответ: а) неравенство Маркова даёт \(\mathrm{P}(X \geqslant 40) \leqslant 0{,}5\); б) неравенство Чебышёва даёт \(\mathrm{P}(X \geqslant 40) \leqslant \frac{1}{24}\); сильнее вторая оценка, так как \(\frac{1}{24} < 0{,}5\).
Игральный кубик бросают 120 раз, и нужно оценить сверху вероятность события «единица выпадет не менее 40 раз». Кубик считаем правильным: все шесть граней равновозможны, а бросания не влияют друг на друга.
Пусть \(X\) — число выпадений единицы в 120 бросаниях. Каждое бросание — испытание с двумя исходами: успех (выпала единица) имеет вероятность \(p = \frac{1}{6}\), неудача — вероятность \(q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\). Испытаний \(n = 120\), они одинаковы и независимы, поэтому \(X\) имеет биномиальное распределение \(Bi\left(120,\ \frac{1}{6}\right)\), а ожидание и дисперсия такой величины равны \(np\) и \(npq\): \[\mathrm{E}X = 120 \cdot \frac{1}{6} = 20, \qquad \mathrm{D}X = 120 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{50}{3}.\]
а) Число выпадений единицы неотрицательно, математическое ожидание у величины \(X\) есть, значит, применимо неравенство Маркова. Граница события — \(a = 40\): \[\mathrm{P}(X \geqslant 40) \leqslant \frac{\mathrm{E}X}{40} = \frac{20}{40} = 0{,}5.\]
б) Неравенство Чебышёва оценивает вероятность двустороннего отклонения \(|X - \mathrm{E}X| \geqslant a\), поэтому сначала свяжем нужное событие с таким отклонением. Если единица выпала не менее 40 раз, то \(X - 20 \geqslant 20\), а тогда и \(|X - 20| \geqslant 20\). Значит, событие «единица выпадет не менее 40 раз» содержится в событии «отклонение числа выпавших единиц от 20 не меньше чем 20», а вероятность события не больше вероятности того события, которое его содержит: \[\mathrm{P}(X \geqslant 40) \leqslant \mathrm{P}(|X - 20| \geqslant 20).\]
У величины \(X\) есть и математическое ожидание, и дисперсия, поэтому вторую вероятность оценивает неравенство Чебышёва при \(a = 20\): \[\mathrm{P}(|X - 20| \geqslant 20) \leqslant \frac{\mathrm{D}X}{20^2} = \frac{50}{3 \cdot 400} = \frac{50}{1200} = \frac{1}{24}.\]
Следовательно, \(\mathrm{P}(X \geqslant 40) \leqslant \frac{1}{24}\).
Сильнее та оценка, которая даёт меньшее число: \(\frac{1}{24} < \frac{1}{2} = 0{,}5\), поэтому сильнее вторая оценка — та, которую дало неравенство Чебышёва.
Ответ: а) неравенство Маркова даёт \(\mathrm{P}(X \geqslant 40) \leqslant 0{,}5\); б) неравенство Чебышёва даёт \(\mathrm{P}(X \geqslant 40) \leqslant \frac{1}{24}\); сильнее вторая оценка, так как \(\frac{1}{24} < 0{,}5\).
