Страница 194 номер 424, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Случайная величина \(X\) имеет математическое ожидание \(m\) и стандартное отклонение \(s\). С помощью неравенства Чебышёва оцените вероятность события:
а) \(|X - m| \geqslant s\); б) \(m - 2s < X < m + 2s\).
Дисперсия равна квадрату стандартного отклонения: \(\mathrm{D}X = s^2\). Ожидание \(m\) и дисперсия у величины есть — неравенство Чебышёва применимо, и \(\mathrm{P}(|X - m| \geqslant a) \leqslant \frac{s^2}{a^2}\). Стандартное отклонение считаем положительным: при \(s = 0\) величина принимает единственное значение \(m\) и отклонений у неё не бывает вовсе.
а) Отклонение не меньше чем на одно стандартное отклонение, то есть \(a = s\): \[\mathrm{P}(|X - m| \geqslant s) \leqslant \frac{s^2}{s^2} = 1.\]
Оценка верна, но содержания не несёт: всякая вероятность и так не больше 1.
б) Интервал \(m - 2s < X < m + 2s\) симметричен относительно \(m\), то есть это событие \(|X - m| < 2s\); противоположное ему событие при \(a = 2s\): \[\mathrm{P}(|X - m| \geqslant 2s) \leqslant \frac{s^2}{(2s)^2} = \frac{s^2}{4s^2} = \frac{1}{4}.\]
Вероятность противоположного события вычитается из единицы, и верхняя оценка вычитаемого даёт нижнюю оценку разности: \(\mathrm{P}(m - 2s < X < m + 2s) = 1 - \mathrm{P}(|X - m| \geqslant 2s) \geqslant 1 - \frac{1}{4} = 0{,}75\).
Ответ: а) \(\mathrm{P}(|X - m| \geqslant s) \leqslant 1\) — эта оценка содержания не несёт, всякая вероятность и так не больше 1; б) \(\mathrm{P}(m - 2s < X < m + 2s) \geqslant 0{,}75\).
Случайная величина \(X\) имеет математическое ожидание \(m\) и стандартное отклонение \(s\). С помощью неравенства Чебышёва оцените вероятность события:
а) \(|X - m| \geqslant s\); б) \(m - 2s < X < m + 2s\).
Случайная величина \(X\) имеет математическое ожидание \(m\) и стандартное отклонение \(s\). В неравенство Чебышёва входит дисперсия, а она равна квадрату стандартного отклонения: \(\mathrm{D}X = s^2\). Ожидание и дисперсия у величины есть, значит, неравенство применимо, и для любого положительного числа \(a\) верно \(\mathrm{P}(|X - m| \geqslant a) \leqslant \frac{s^2}{a^2}\). Стандартное отклонение считаем положительным: при \(s = 0\) величина принимает единственное значение \(m\) и отклонений у неё не бывает вовсе.
а) Событие \(|X - m| \geqslant s\) — это отклонение от математического ожидания не меньше чем на одно стандартное отклонение, то есть \(a = s\): \[\mathrm{P}(|X - m| \geqslant s) \leqslant \frac{s^2}{s^2} = 1.\]
Оценка верна, но содержания не несёт: всякая вероятность и так не больше 1. Отклонение на одно стандартное отклонение — дело обычное, и неравенство Чебышёва о нём ничего не сообщает.
б) Событие \(m - 2s < X < m + 2s\) означает, что значение \(X\) отстоит от \(m\) меньше чем на \(2s\) в обе стороны: \(m - (m - 2s) = 2s\) и \((m + 2s) - m = 2s\). Значит, это то же самое, что \(|X - m| < 2s\). Противоположное ему событие \(|X - m| \geqslant 2s\) оценивается неравенством Чебышёва при \(a = 2s\): \[\mathrm{P}(|X - m| \geqslant 2s) \leqslant \frac{s^2}{(2s)^2} = \frac{s^2}{4s^2} = \frac{1}{4}.\]
Вероятность противоположного события вычитается из единицы, и верхняя оценка вычитаемого даёт нижнюю оценку разности: \[\mathrm{P}(m - 2s < X < m + 2s) = 1 - \mathrm{P}(|X - m| \geqslant 2s) \geqslant 1 - \frac{1}{4} = 0{,}75.\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(|X - m| \geqslant s) \leqslant 1\) — эта оценка содержания не несёт, всякая вероятность и так не больше 1; б) \(\mathrm{P}(m - 2s < X < m + 2s) \geqslant 0{,}75\).
