Страница 188 номер 417, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
6 котят в коллекции
в каждом шоколадном яйце с равными шансами может оказаться любой из шести котят
\(X\) — число яиц, которые придётся купить, чтобы собрать всю коллекцию
Найти: \(\mathrm{E}X\) и \(\sqrt{\mathrm{D}X}\).
Решение:

Будем считать, что котёнок в очередном яйце не зависит от того, какие котята попались в предыдущих: покупки яиц — независимые испытания, и в каждом любой из шести котят появляется с вероятностью \(\dfrac{1}{6}\).

Разобьём покупки на шесть этапов: \(k\)-й этап начинается, когда в коллекции уже \(k - 1\) разных котят, и заканчивается покупкой яйца с новым котёнком. Обозначим через \(X_k\) число яиц, купленных на \(k\)-м этапе, включая яйцо с новым котёнком. Вместе этапы дают все покупки, поэтому \[X = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6.\]

Первое же яйцо приносит нового котёнка, поэтому \(X_1 = 1\) всегда: это постоянная величина, её математическое ожидание \(\mathrm{E}X_1 = 1\), а дисперсия равна нулю, как у всякой постоянной: \(\mathrm{D}X_1 = 0\).

При \(k = 2,\ 3,\ \ldots,\ 6\) на \(k\)-м этапе в коллекции уже \(k - 1\) котят. Успех — яйцо с новым котёнком: подходят \(6 - (k - 1) = 7 - k\) котят из шести, поэтому вероятность успеха при каждой покупке равна \(p = \dfrac{7 - k}{6}\). Неудача — один из \(k - 1\) уже собранных котят, её вероятность \(q = \dfrac{k - 1}{6}\). Покупки независимы, вероятность успеха на протяжении этапа одна и та же, а \(X_k\) считает покупки до первого успеха включительно. Значит, \(X_k \sim G\left(\dfrac{7 - k}{6}\right)\).

Математическое ожидание геометрического распределения равно \(\dfrac{1}{p}\), а дисперсия равна \(\dfrac{q}{p^2}\), поэтому \(\mathrm{E}X_k = \dfrac{6}{7 - k}\) и \[\mathrm{D}X_k = \frac{k - 1}{6} : \frac{(7 - k)^2}{36} = \frac{6(k - 1)}{(7 - k)^2}.\]

По этим формулам:
\(\mathrm{E}X_2 = \dfrac{6}{5}\), \(\mathrm{D}X_2 = \dfrac{6 \cdot 1}{5^2} = \dfrac{6}{25}\);
\(\mathrm{E}X_3 = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\), \(\mathrm{D}X_3 = \dfrac{6 \cdot 2}{4^2} = \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4}\);
\(\mathrm{E}X_4 = \dfrac{6}{3} = 2\), \(\mathrm{D}X_4 = \dfrac{6 \cdot 3}{3^2} = 2\);
\(\mathrm{E}X_5 = \dfrac{6}{2} = 3\), \(\mathrm{D}X_5 = \dfrac{6 \cdot 4}{2^2} = 6\);
\(\mathrm{E}X_6 = \dfrac{6}{1} = 6\), \(\mathrm{D}X_6 = \dfrac{6 \cdot 5}{1^2} = 30\).

Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий (для этого независимость слагаемых не нужна): \[\mathrm{E}X = 1 + \frac{6}{5} + \frac{3}{2} + 2 + 3 + 6 = 1 + 1{,}2 + 1{,}5 + 11 = 14{,}7.\]

Для дисперсии суммы независимость нужна. Величина \(X_1\) — постоянная, а каждый следующий этап — новая серия покупок: котёнок в каждом яйце не зависит от прежних покупок, а вероятность успеха на \(k\)-м этапе зависит только от числа уже собранных котят, которое в начале этапа всегда равно \(k - 1\). Поэтому распределение \(X_k\) не зависит от того, какие значения приняли \(X_1,\ \ldots,\ X_{k-1}\), то есть от того, как прошли предыдущие этапы. Значит, величины \(X_1,\ \ldots,\ X_6\) попарно независимы, а дисперсия суммы попарно независимых величин равна сумме их дисперсий: \[\mathrm{D}X = 0 + \frac{6}{25} + \frac{3}{4} + 2 + 6 + 30 = 0{,}24 + 0{,}75 + 38 = 38{,}99.\]

Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии: \[\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{38{,}99} \approx 6{,}244.\]

Ответ: в среднем придётся купить \(\mathrm{E}X = 14{,}7\) яйца; стандартное отклонение числа купленных яиц \(\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{38{,}99} \approx 6{,}244\).