Страница 194 номер 422, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
У величины \(X\) есть и математическое ожидание \(\mathrm{E}X = m\), и дисперсия \(\mathrm{D}X = s^2\) (буква \(s\) — стандартное отклонение), число \(a\) положительно — неравенство Чебышёва применимо: \[\mathrm{P}(|X - m| \geqslant a) \leqslant \frac{\mathrm{D}X}{a^2} = \frac{s^2}{a^2}.\]
События \(|X - m| < a\) и \(|X - m| \geqslant a\) противоположны, и верхняя оценка вычитаемого даёт нижнюю оценку разности: \[\mathrm{P}(|X - m| < a) = 1 - \mathrm{P}(|X - m| \geqslant a) \geqslant 1 - \frac{s^2}{a^2}.\]
Содержательна эта оценка только при \(a > s\): лишь тогда правая часть положительна.
Ответ: \(\mathrm{P}(|X - m| < a) \geqslant 1 - \frac{s^2}{a^2}\).
Случайная величина \(X\) имеет математическое ожидание \(\mathrm{E}X = m\) и дисперсию \(\mathrm{D}X = s^2\), буква \(a\) — произвольное положительное число. Нужна нижняя оценка вероятности события \(|X - m| < a\).
Условия применимости неравенства Чебышёва выполнены: у величины есть и математическое ожидание, и дисперсия — оба даны. Дисперсия задана сразу, возводить в квадрат ничего не нужно: \(\mathrm{D}X = s^2\), буква \(s\) — стандартное отклонение. Значит, для положительного числа \(a\) \[\mathrm{P}(|X - m| \geqslant a) \leqslant \frac{\mathrm{D}X}{a^2} = \frac{s^2}{a^2}.\]
События \(|X - m| < a\) и \(|X - m| \geqslant a\) противоположны, поэтому \(\mathrm{P}(|X - m| < a) = 1 - \mathrm{P}(|X - m| \geqslant a)\). Чем больше вычитаемое, тем меньше разность, и верхняя оценка вычитаемого даёт нижнюю оценку разности: \[\mathrm{P}(|X - m| < a) = 1 - \mathrm{P}(|X - m| \geqslant a) \geqslant 1 - \frac{s^2}{a^2}.\]
Содержательна эта оценка только при \(a > s\): лишь тогда правая часть положительна. При \(a \leqslant s\) она неположительна и о вероятности ничего не сообщает.
Ответ: \(\mathrm{P}(|X - m| < a) \geqslant 1 - \frac{s^2}{a^2}\).
