Страница 188 номер 414, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Пусть \(X\) — число успехов в 180 испытаниях Бернулли. Известно, что \(\mathrm{D}X = 25\). Найдите вероятность успеха \(p\) в одном испытании.
Испытания Бернулли в серии одинаковы и независимы, поэтому число успехов \(X\) в серии из 180 испытаний имеет распределение \(Bi(180,\ p)\) и \(\mathrm{D}X = npq = 180p(1 - p)\), где \(q = 1 - p\).
\(\mathrm{D}X = 25\), откуда \(180p(1 - p) = 25\); после деления обеих частей на 5 и раскрытия скобок \(36p - 36p^2 = 5\), то есть \[36p^2 - 36p + 5 = 0.\]
Дискриминант равен \(36^2 - 4 \cdot 36 \cdot 5 = 1296 - 720 = 576 = 24^2\), корни: \[\begin{aligned} &p_1 = \frac{36 - 24}{72} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}; \\ &p_2 = \frac{36 + 24}{72} = \frac{60}{72} = \frac{5}{6}. \end{aligned}\]
Оба корня лежат между 0 и 1, поэтому оба годятся как вероятность успеха.
Проверка: при \(p = \dfrac{1}{6}\) вероятность неудачи \(q = \dfrac{5}{6}\) и \(\mathrm{D}X = 180 \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{900}{36} = 25\); при \(p = \dfrac{5}{6}\) множители \(p\) и \(q\) просто меняются местами.
Ответ: \(p = \dfrac{1}{6}\) или \(p = \dfrac{5}{6}\).
Пусть \(X\) — число успехов в 180 испытаниях Бернулли. Известно, что \(\mathrm{D}X = 25\). Найдите вероятность успеха \(p\) в одном испытании.
Испытания Бернулли в серии по определению одинаковы и независимы, поэтому число успехов \(X\) в серии из 180 испытаний имеет биномиальное распределение \(Bi(180,\ p)\). Дисперсия биномиального распределения равна \(npq\), где \(n = 180\) — число испытаний, \(q = 1 - p\) — вероятность неудачи, поэтому \(\mathrm{D}X = 180p(1 - p)\).
Дисперсия равна 25, откуда \(180p(1 - p) = 25\). Разделим обе части на 5 и раскроем скобки: \(36p - 36p^2 = 5\), то есть \[36p^2 - 36p + 5 = 0.\]
Дискриминант этого квадратного уравнения равен \(36^2 - 4 \cdot 36 \cdot 5 = 1296 - 720 = 576 = 24^2\), поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} &p_1 = \frac{36 - 24}{72} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}; \\ &p_2 = \frac{36 + 24}{72} = \frac{60}{72} = \frac{5}{6}. \end{aligned}\]
Оба корня лежат между 0 и 1, поэтому оба годятся как вероятность успеха. Так и должно быть: если поменять местами успех и неудачу, то \(p\) и \(q\) поменяются местами, а произведение \(pq\), а с ним и дисперсия, не изменится.
Проверка: при \(p = \dfrac{1}{6}\) вероятность неудачи \(q = \dfrac{5}{6}\) и \(\mathrm{D}X = 180 \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{900}{36} = 25\); при \(p = \dfrac{5}{6}\) множители \(p\) и \(q\) просто меняются местами.
Ответ: \(p = \dfrac{1}{6}\) или \(p = \dfrac{5}{6}\).
