Страница 188 номер 416, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
6 автомобилей едут друг за другом по узкому шоссе, обгон невозможен
каждый водитель хочет ехать со своей, удобной ему, скоростью
\(X\) — число групп, в которые собьются автомобили
Найти: \(\mathrm{E}X\) и \(\sqrt{\mathrm{D}X}\).
Решение:

Будем считать, что желаемые скорости всех шести водителей различны и ни один автомобиль не имеет преимущества перед другими: все \(6! = 720\) порядков скоростей (какой автомобиль самый медленный, какой следующий за ним и так далее) равновозможны.

Пронумеруем автомобили от головы колонны: первый едет впереди всех, шестой — последним. Обгон невозможен, поэтому каждый автомобиль в конце концов едет с меньшей из двух скоростей — своей желаемой и скоростью автомобиля, идущего прямо перед ним: если он быстрее, то догонит этот автомобиль и дальше поедет за ним. Первый автомобиль едет со своей скоростью, второй — со скоростью более медленного из первых двух, третий — со скоростью самого медленного из первых трёх, и так далее: каждый автомобиль едет со скоростью самого медленного из автомобилей от первого до него самого.

Поэтому \(k\)-й автомобиль отстаёт от идущего перед ним и возглавляет новую группу тогда и только тогда, когда он медленнее всех автомобилей, идущих впереди него. Если же впереди есть автомобиль медленнее \(k\)-го, то идущий прямо перед \(k\)-м едет не быстрее этого медленного, и \(k\)-й догоняет его и входит в его группу. Первый автомобиль возглавляет группу всегда. Групп столько же, сколько автомобилей, которые их возглавляют.

Для каждого \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 6\) введём индикатор \(I_k\): \(I_k = 1\), если \(k\)-й автомобиль возглавляет группу, и \(I_k = 0\) в противном случае. Тогда \[X = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 + I_5 + I_6.\]

Первый автомобиль возглавляет группу всегда, поэтому \(I_1 = 1\) — постоянная величина. Возьмём номер \(k \geqslant 2\). Все 720 порядков скоростей шести автомобилей равновозможны, поэтому равновозможны и все \(k!\) порядков скоростей первых \(k\) автомобилей между собой: каждый из них продолжается до порядка скоростей всех шести автомобилей одним и тем же числом способов. Каждый такой порядок складывается из двух частей: порядка скоростей первых \(k - 1\) автомобилей между собой (одного из \((k - 1)!\)) и места \(k\)-го автомобиля по медленности среди первых \(k\) (одного из \(k\): самый медленный, второй по медленности, …, самый быстрый). Каждой паре частей отвечает ровно один порядок, а всего пар \((k - 1)! \cdot k = k!\), поэтому все пары равновозможны.

Каждое из \(k\) мест \(k\)-го автомобиля встречается в \((k - 1)!\) парах из \(k!\), то есть имеет вероятность \(\dfrac{1}{k}\). Событие \(I_k = 1\) означает, что \(k\)-й автомобиль — самый медленный из первых \(k\), поэтому \(\mathrm{P}(I_k = 1) = \dfrac{1}{k}\); при \(k = 1\) это тоже верно.

Докажем, что индикаторы попарно независимы. Возьмём два номера \(j < k\). Значение \(I_k\) определяется только местом \(k\)-го автомобиля по медленности среди первых \(k\), а значение \(I_j\) — только порядком скоростей первых \(j\) автомобилей, то есть частью порядка скоростей первых \(k - 1\) автомобилей. При любом месте \(k\)-го автомобиля все \((k - 1)!\) порядков скоростей впереди идущих автомобилей остаются равновозможными. Поэтому распределение \(I_j\) не зависит от того, какое значение принял \(I_k\), то есть величины \(I_j\) и \(I_k\) независимы. Индикатор \(I_1\) — постоянная, и его распределение тем более ни от чего не зависит. Значит, индикаторы \(I_1,\ \ldots,\ I_6\) попарно независимы.

Математическое ожидание индикатора равно вероятности его события: \(\mathrm{E}I_k = \dfrac{1}{k}\). Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий (для этого независимость слагаемых не нужна), поэтому \[\begin{aligned} &\mathrm{E}X = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = {} \\ &= \frac{60 + 30 + 20 + 15 + 12 + 10}{60} = \frac{147}{60} = 2{,}45. \end{aligned}\]

Индикатор \(I_k\) при \(k \geqslant 2\) — бинарная величина, которая равна 1 с вероятностью \(\dfrac{1}{k}\), поэтому её дисперсия равна \(\mathrm{D}I_k = \dfrac{1}{k}\left(1 - \dfrac{1}{k}\right) = \dfrac{k - 1}{k^2}\). Индикатор \(I_1\) — постоянная, а дисперсия постоянной равна нулю: \(\mathrm{D}I_1 = 0\). Индикаторы попарно независимы, а дисперсия суммы попарно независимых величин равна сумме их дисперсий: \[\begin{aligned} &\mathrm{D}X = \mathrm{D}I_1 + \mathrm{D}I_2 + \ldots + \mathrm{D}I_6 = {} \\ &= 0 + \frac{1}{4} + \frac{2}{9} + \frac{3}{16} + \frac{4}{25} + \frac{5}{36} = {} \\ &= \frac{900 + 800 + 675 + 576 + 500}{3600} = \frac{3451}{3600}. \end{aligned}\]

Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии: \[\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{\frac{3451}{3600}} = \frac{\sqrt{3451}}{60} \approx 0{,}979.\]

Ответ: математическое ожидание числа групп \(\mathrm{E}X = 2{,}45\); стандартное отклонение \(\sqrt{\mathrm{D}X} = \dfrac{\sqrt{3451}}{60} \approx 0{,}979\).