Страница 188 номер 413, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
\(p = 0{,}6\) — вероятность попадания при каждом отдельном выстреле
стрелок стреляет, пока не попадёт в мишень три раза
\(X\) — число выстрелов
Найти: \(\sqrt{\mathrm{D}X}\) — стандартное отклонение величины \(X\).
Решение:
Считаем, что результат выстрела не зависит от результатов предыдущих: выстрелы — одинаковые независимые испытания с вероятностью попадания \(p = 0{,}6\) и промаха \(q = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\).
Величина \(X\) не имеет ни геометрического, ни биномиального распределения: она считает выстрелы до третьего попадания и принимает значения \(3;\ 4;\ 5;\ \ldots\). Разобьём серию выстрелов на три части и введём три величины:
\(X_1\) — число выстрелов до первого попадания включительно;
\(X_2\) — число выстрелов после первого попадания до второго включительно;
\(X_3\) — число выстрелов после второго попадания до третьего включительно.
Вместе эти части дают все выстрелы, поэтому \(X = X_1 + X_2 + X_3\).
Каждая из величин \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\) считает выстрелы своей части до первого попадания в ней, включая выстрел с попаданием, поэтому имеет распределение \(G(0{,}6)\): \[\begin{aligned} &\mathrm{D}X_1 = \mathrm{D}X_2 = \mathrm{D}X_3 = \frac{q}{p^2} = {} \\ &= \frac{0{,}4}{0{,}6^2} = \frac{0{,}4}{0{,}36} = \frac{10}{9}. \end{aligned}\]
\(X_1\), \(X_2\), \(X_3\) независимы: после каждого попадания начинается новая серия независимых выстрелов с той же вероятностью попадания \(0{,}6\), поэтому распределение \(X_2\) не зависит от значения \(X_1\), а распределение \(X_3\) — от значений \(X_1\) и \(X_2\).
Дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий; слагаемые распределены одинаково, но это три разные величины, а не одна, взятая трижды: \[\mathrm{D}X = \mathrm{D}X_1 + \mathrm{D}X_2 + \mathrm{D}X_3 = 3 \cdot \frac{10}{9} = \frac{10}{3}.\]
\[\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{\frac{10}{3}} \approx 1{,}826.\]
Ответ: стандартное отклонение числа выстрелов \(\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{\dfrac{10}{3}} \approx 1{,}826\).
Дано:
\(p = 0{,}6\) — вероятность попадания при каждом отдельном выстреле
стрелок стреляет, пока не попадёт в мишень три раза
\(X\) — число выстрелов
Найти: \(\sqrt{\mathrm{D}X}\) — стандартное отклонение величины \(X\).
Решение:
Вероятность попадания при каждом выстреле одна и та же. Будем считать, кроме того, что результат выстрела не зависит от результатов предыдущих. Тогда выстрелы — одинаковые независимые испытания с вероятностью успеха (попадания) \(p = 0{,}6\) и вероятностью неудачи (промаха) \(q = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\).
Сама величина \(X\) не имеет ни геометрического, ни биномиального распределения: она считает выстрелы до третьего попадания и принимает значения \(3;\ 4;\ 5;\ \ldots\). Разобьём серию выстрелов на три части и введём три величины:
\(X_1\) — число выстрелов до первого попадания включительно;
\(X_2\) — число выстрелов после первого попадания до второго включительно;
\(X_3\) — число выстрелов после второго попадания до третьего включительно.
Вместе эти части дают все выстрелы, поэтому \(X = X_1 + X_2 + X_3\).
Каждая из величин \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\) считает выстрелы своей части до первого попадания в ней, включая выстрел с попаданием, и принимает значения \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots\). Значит, каждая имеет геометрическое распределение \(G(0{,}6)\), а дисперсия геометрического распределения равна вероятности неудачи, делённой на квадрат вероятности успеха: \[\begin{aligned} &\mathrm{D}X_1 = \mathrm{D}X_2 = \mathrm{D}X_3 = \frac{q}{p^2} = {} \\ &= \frac{0{,}4}{0{,}6^2} = \frac{0{,}4}{0{,}36} = \frac{10}{9}. \end{aligned}\]
Величины \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\) независимы. Как бы ни прошли выстрелы до первого попадания, после него начинается новая серия независимых выстрелов с той же вероятностью попадания \(0{,}6\). Поэтому распределение \(X_2\) не зависит от того, какое значение приняла \(X_1\), а распределение \(X_3\) — от того, какие значения приняли \(X_1\) и \(X_2\).
Дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий. Слагаемые распределены одинаково, но это три разные величины, а не одна, взятая трижды, поэтому \[\mathrm{D}X = \mathrm{D}X_1 + \mathrm{D}X_2 + \mathrm{D}X_3 = 3 \cdot \frac{10}{9} = \frac{10}{3}.\]
Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии: \[\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{\frac{10}{3}} \approx 1{,}826.\]
Ответ: стандартное отклонение числа выстрелов \(\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{\dfrac{10}{3}} \approx 1{,}826\).
