Страница 188 номер 411, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Найдите \(\mathrm{E}X\) и \(\mathrm{D}X\), если случайная величина \(X\) — это:
а) число бросков монеты до выпадения первого орла;
б) число бросков игрального кубика до первого выпадения единицы.
а) Монета симметричная: в каждом броске орёл выпадает с вероятностью \(p = 0{,}5\), решка — с вероятностью \(q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\). Броски одинаковы и независимы, \(X\) считает их до первого орла включительно (значения \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots\)), поэтому \(X \sim G(0{,}5)\). \[\mathrm{E}X = \frac{1}{p} = \frac{1}{0{,}5} = 2.\] \[\mathrm{D}X = \frac{q}{p^2} = \frac{0{,}5}{0{,}5^2} = \frac{0{,}5}{0{,}25} = 2.\]
б) Кубик правильный: в каждом броске единица выпадает с вероятностью \(p = \dfrac{1}{6}\), не выпадает — с вероятностью \(q = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\). Броски независимы, \(X\) считает их до первой единицы включительно, поэтому \(X \sim G\left(\dfrac{1}{6}\right)\).
\(\mathrm{E}X = \dfrac{1}{p} = 1 : \dfrac{1}{6} = 6\).
\[\mathrm{D}X = \frac{q}{p^2} = \frac{5}{6} : \frac{1}{36} = \frac{5}{6} \cdot 36 = 30.\]
Ответ: а) \(\mathrm{E}X = 2\), \(\mathrm{D}X = 2\); б) \(\mathrm{E}X = 6\), \(\mathrm{D}X = 30\).
Найдите \(\mathrm{E}X\) и \(\mathrm{D}X\), если случайная величина \(X\) — это:
а) число бросков монеты до выпадения первого орла;
б) число бросков игрального кубика до первого выпадения единицы.
а) Монету считаем симметричной: в каждом броске орёл выпадает с вероятностью \(p = 0{,}5\), а решка — с вероятностью \(q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\). Броски одинаковы и независимы: результат броска не зависит от предыдущих. Величина \(X\) считает броски до первого орла, причём в счёт идёт и тот бросок, в котором орёл выпал, поэтому её значения — \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots\). Значит, \(X\) — число испытаний до первого успеха включительно, и \(X \sim G(0{,}5)\).
Математическое ожидание геометрического распределения равно единице, делённой на вероятность успеха: \[\mathrm{E}X = \frac{1}{p} = \frac{1}{0{,}5} = 2.\]
Дисперсия геометрического распределения равна вероятности неудачи, делённой на квадрат вероятности успеха: \[\mathrm{D}X = \frac{q}{p^2} = \frac{0{,}5}{0{,}5^2} = \frac{0{,}5}{0{,}25} = 2.\]
б) Кубик считаем правильным: все шесть граней равновозможны, поэтому в каждом броске единица выпадает с вероятностью \(p = \dfrac{1}{6}\), а не выпадает — с вероятностью \(q = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\). Броски независимы, величина \(X\) считает их до первой единицы включительно, поэтому \(X \sim G\left(\dfrac{1}{6}\right)\). По тем же формулам математическое ожидание равно \(\mathrm{E}X = \dfrac{1}{p} = 1 : \dfrac{1}{6} = 6\), а дисперсия равна \[\mathrm{D}X = \frac{q}{p^2} = \frac{5}{6} : \frac{1}{36} = \frac{5}{6} \cdot 36 = 30.\]
Ответ: а) \(\mathrm{E}X = 2\), \(\mathrm{D}X = 2\); б) \(\mathrm{E}X = 6\), \(\mathrm{D}X = 30\).
