Страница 181 номер 396, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Докажите, что при любом значении \(x\) дисперсия случайной величины, имеющей распределение
\[\begin{pmatrix} 0 & 1 & x \\ 0{,}2 & 0{,}6 & 0{,}2 \end{pmatrix},\]
не меньше чем \(0{,}15\).
\(X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & x \\ 0{,}2 & 0{,}6 & 0{,}2 \end{pmatrix}\), где \(x\) — третье значение величины, любое число, а не вероятность.
\(\mathrm{E}X = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}6 + x \cdot 0{,}2 = 0{,}6 + 0{,}2x\).
\(\mathrm{E}X^2 = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}6 + x^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}6 + 0{,}2x^2\).
\(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\) — математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания: \[\begin{aligned} &\mathrm{D}X = 0{,}6 + 0{,}2x^2 - (0{,}6 + 0{,}2x)^2 = {} \\ &= 0{,}6 + 0{,}2x^2 - (0{,}36 + 0{,}24x + 0{,}04x^2) = {} \\ &= 0{,}16x^2 - 0{,}24x + 0{,}24. \end{aligned}\]
При \(x = 0\) или \(x = 1\) два значения в матрице совпадают, но суммы для \(\mathrm{E}X\) и \(\mathrm{E}X^2\) от этого не меняются, так что формула верна при любом \(x\).
\[\mathrm{D}X - 0{,}15 = 0{,}16x^2 - 0{,}24x + 0{,}09 = (0{,}4x - 0{,}3)^2.\]
Квадрат числа неотрицателен, поэтому \(\mathrm{D}X - 0{,}15 \geqslant 0\), то есть \(\mathrm{D}X \geqslant 0{,}15\) при любом \(x\). Равенство достигается при \(0{,}4x - 0{,}3 = 0\), то есть при \(x = 0{,}75\).
Ответ: при любом \(x\) дисперсия равна \((0{,}4x - 0{,}3)^2 + 0{,}15\) и потому не меньше чем \(0{,}15\); значение \(0{,}15\) достигается при \(x = 0{,}75\).
Докажите, что при любом значении \(x\) дисперсия случайной величины, имеющей распределение
\[\begin{pmatrix} 0 & 1 & x \\ 0{,}2 & 0{,}6 & 0{,}2 \end{pmatrix},\]
не меньше чем \(0{,}15\).
Обозначим случайную величину буквой \(X\): \[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & x \\ 0{,}2 & 0{,}6 & 0{,}2 \end{pmatrix}.\]
Здесь \(x\) — третье значение величины, любое число, а не вероятность. Дисперсию найдём по формуле \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\): математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания.
Математическое ожидание \(\mathrm{E}X = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}6 + x \cdot 0{,}2 = 0{,}6 + 0{,}2x\), математическое ожидание квадрата \(\mathrm{E}X^2 = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}6 + x^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}6 + 0{,}2x^2\). Поэтому \[\begin{aligned} &\mathrm{D}X = 0{,}6 + 0{,}2x^2 - (0{,}6 + 0{,}2x)^2 = {} \\ &= 0{,}6 + 0{,}2x^2 - (0{,}36 + 0{,}24x + 0{,}04x^2) = {} \\ &= 0{,}16x^2 - 0{,}24x + 0{,}24. \end{aligned}\]
При \(x = 0\) или \(x = 1\) два значения в матрице совпадают, но суммы, по которым находятся \(\mathrm{E}X\) и \(\mathrm{E}X^2\), от этого не меняются, так что формула верна при любом \(x\).
Сравним дисперсию с числом \(0{,}15\): \[\mathrm{D}X - 0{,}15 = 0{,}16x^2 - 0{,}24x + 0{,}09 = (0{,}4x - 0{,}3)^2.\]
Квадрат числа неотрицателен, поэтому \(\mathrm{D}X - 0{,}15 \geqslant 0\), то есть \(\mathrm{D}X \geqslant 0{,}15\) при любом \(x\). Равенство достигается, когда \(0{,}4x - 0{,}3 = 0\), то есть при \(x = 0{,}75\). Проверка при \(x = 0{,}75\): \(\mathrm{E}X = 0{,}6 + 0{,}2 \cdot 0{,}75 = 0{,}75\), \(\mathrm{E}X^2 = 0{,}6 + 0{,}2 \cdot 0{,}5625 = 0{,}7125\) и \(\mathrm{D}X = 0{,}7125 - 0{,}75^2 = 0{,}7125 - 0{,}5625 = 0{,}15\).
Ответ: при любом \(x\) дисперсия равна \((0{,}4x - 0{,}3)^2 + 0{,}15\) и потому не меньше чем \(0{,}15\); значение \(0{,}15\) достигается при \(x = 0{,}75\).
