Страница 194 номер 427, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
\(X\) — число пользователей, которые увидят следующий пост
\(\mathrm{E}X = 900\)
Найти: а) оценку сверху для \(\mathrm{P}(X \geqslant 1500)\); б) оценку снизу для \(\mathrm{P}(X < 1800)\).
Решение:
Число зрителей поста отрицательным не бывает, ожидание есть — неравенство Маркова \(\mathrm{P}(X \geqslant a) \leqslant \frac{\mathrm{E}X}{a}\) применимо.
а) Граница \(a = 1500\): \[\mathrm{P}(X \geqslant 1500) \leqslant \frac{900}{1500} = 0{,}6.\]
б) Неравенство Маркова оценивает сверху вероятность события вида \(X \geqslant a\), поэтому берём противоположное событие \(X \geqslant 1800\): \(\mathrm{P}(X \geqslant 1800) \leqslant \frac{900}{1800} = 0{,}5\).
Верхняя оценка вычитаемого даёт нижнюю оценку разности: \[\mathrm{P}(X < 1800) = 1 - \mathrm{P}(X \geqslant 1800) \geqslant 1 - 0{,}5 = 0{,}5.\]
Ответ: а) вероятность того, что следующий пост увидят не менее 1500 пользователей, не больше \(0{,}6\): \(\mathrm{P}(X \geqslant 1500) \leqslant 0{,}6\); б) вероятность того, что следующий пост увидят менее 1800 пользователей, не меньше \(0{,}5\): \(\mathrm{P}(X < 1800) \geqslant 0{,}5\).
Дано:
\(X\) — число пользователей, которые увидят следующий пост
\(\mathrm{E}X = 900\)
Найти: а) оценку сверху для \(\mathrm{P}(X \geqslant 1500)\); б) оценку снизу для \(\mathrm{P}(X < 1800)\).
Решение:
Пользователь социальной сети узнал из её статистики, что каждый его пост видят в среднем 900 других пользователей. Слова «в среднем 900» означают, что среднее значение числа зрителей поста равно 900, то есть математическое ожидание величины \(X\) равно \(\mathrm{E}X = 900\).
Число пользователей, увидевших пост, отрицательным не бывает, поэтому \(X\) принимает только неотрицательные значения; математическое ожидание у неё есть. Значит, применимо неравенство Маркова \(\mathrm{P}(X \geqslant a) \leqslant \frac{\mathrm{E}X}{a}\).
а) Событие «следующий пост увидят не менее 1500 пользователей» — это \(X \geqslant 1500\), то есть \(a = 1500\): \[\mathrm{P}(X \geqslant 1500) \leqslant \frac{900}{1500} = 0{,}6.\]
б) Событие «следующий пост увидят менее 1800 пользователей» — это \(X < 1800\). Неравенство Маркова оценивает сверху вероятность события вида «не меньше чем \(a\)», поэтому нужна вероятность противоположного события \(X \geqslant 1800\): для него при \(a = 1800\) получаем \(\mathrm{P}(X \geqslant 1800) \leqslant \frac{900}{1800} = 0{,}5\).
Вероятность противоположного события вычитается из единицы, и верхняя оценка вычитаемого даёт нижнюю оценку разности: \[\mathrm{P}(X < 1800) = 1 - \mathrm{P}(X \geqslant 1800) \geqslant 1 - 0{,}5 = 0{,}5.\]
Ответ: а) вероятность того, что следующий пост увидят не менее 1500 пользователей, не больше \(0{,}6\): \(\mathrm{P}(X \geqslant 1500) \leqslant 0{,}6\); б) вероятность того, что следующий пост увидят менее 1800 пользователей, не меньше \(0{,}5\): \(\mathrm{P}(X < 1800) \geqslant 0{,}5\).
