Страница 180 номер 387, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Найдите стандартные отклонения случайных величин из задачи 386. Результат округлите до сотых.
\(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\) — математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания; стандартное отклонение — \(\sqrt{\mathrm{D}X}\).
а) \(X \sim \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 0{,}2 & 0{,}6 & 0{,}2 \end{pmatrix}\).
\(\mathrm{E}X = -2 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}2 = 0\).
\(\mathrm{E}X^2 = 4 \cdot 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}2 = 1{,}6\).
\(\mathrm{D}X = 1{,}6 - 0^2 = 1{,}6\).
\[\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{1{,}6} = 1{,}2649\ldots \approx 1{,}26.\]
б) \(X \sim \begin{pmatrix} -3 & 1 & 3 \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\).
\(\mathrm{E}X = -\frac{3}{6} + \frac{1}{2} + \frac{3}{3} = 1\).
\(\mathrm{E}X^2 = \frac{9}{6} + \frac{1}{2} + \frac{9}{3} = 5\).
\(\mathrm{D}X = 5 - 1^2 = 4\).
\[\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{4} = 2.\]
в) \(X \sim \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 \end{pmatrix}\).
\(\mathrm{E}X = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) \cdot 0{,}2 = 6\).
\(\mathrm{E}X^2 = (4 + 16 + 36 + 64 + 100) \cdot 0{,}2 = 44\).
\(\mathrm{D}X = 44 - 6^2 = 8\).
\[\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{8} = 2{,}8284\ldots \approx 2{,}83.\]
Ответ: стандартное отклонение величины из пункта а) задачи 386 равно \(\sqrt{1{,}6} \approx 1{,}26\), из пункта б) — \(\sqrt{4} = 2\), из пункта в) — \(\sqrt{8} \approx 2{,}83\).
Найдите стандартные отклонения случайных величин из задачи 386. Результат округлите до сотых.
Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии \(\sqrt{\mathrm{D}X}\). Дисперсии величин из задачи 386 находим по формуле \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\) (математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания), а корень округляем до сотых.
а) Для величины \(X \sim \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 0{,}2 & 0{,}6 & 0{,}2 \end{pmatrix}\) математическое ожидание \(\mathrm{E}X = -2 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}2 = 0\), ожидание квадрата \(\mathrm{E}X^2 = 4 \cdot 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}2 = 1{,}6\), поэтому \(\mathrm{D}X = 1{,}6 - 0^2 = 1{,}6\) и \[\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{1{,}6} = 1{,}2649\ldots \approx 1{,}26.\]
б) Для величины \(X \sim \begin{pmatrix} -3 & 1 & 3 \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\) математическое ожидание \(\mathrm{E}X = -\frac{3}{6} + \frac{1}{2} + \frac{3}{3} = 1\), ожидание квадрата \(\mathrm{E}X^2 = \frac{9}{6} + \frac{1}{2} + \frac{9}{3} = 5\), поэтому \(\mathrm{D}X = 5 - 1^2 = 4\) и \[\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{4} = 2.\]
в) Для величины \(X \sim \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 \end{pmatrix}\) математическое ожидание \(\mathrm{E}X = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) \cdot 0{,}2 = 6\), ожидание квадрата \(\mathrm{E}X^2 = (4 + 16 + 36 + 64 + 100) \cdot 0{,}2 = 44\), поэтому \(\mathrm{D}X = 44 - 6^2 = 8\) и \[\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{8} = 2{,}8284\ldots \approx 2{,}83.\]
Ответ: стандартное отклонение величины из пункта а) задачи 386 равно \(\sqrt{1{,}6} \approx 1{,}26\), из пункта б) — \(\sqrt{4} = 2\), из пункта в) — \(\sqrt{8} \approx 2{,}83\).
