Страница 188 номер 415, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Случайная величина \(X\) подчиняется биномиальному распределению \(Bi(n,\ p)\) с математическим ожиданием 100 и дисперсией 75. Найдите параметры распределения.
Для \(Bi(n,\ p)\) математическое ожидание равно \(np\), а дисперсия — \(npq\), где \(q = 1 - p\): \[\begin{cases} np = 100, \\ npq = 75. \end{cases}\]
\(q = \dfrac{npq}{np} = \dfrac{75}{100} = 0{,}75\) — второе равенство делим на первое.
\(p = 1 - 0{,}75 = 0{,}25\).
\(n = \dfrac{100}{p} = \dfrac{100}{0{,}25} = 400\) — из первого равенства.
Проверка: \(np = 400 \cdot 0{,}25 = 100\), \(npq = 400 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75 = 75\).
Ответ: \(n = 400\), \(p = 0{,}25\), то есть \(X \sim Bi(400;\ 0{,}25)\).
Случайная величина \(X\) подчиняется биномиальному распределению \(Bi(n,\ p)\) с математическим ожиданием 100 и дисперсией 75. Найдите параметры распределения.
Математическое ожидание биномиального распределения \(Bi(n,\ p)\) равно \(np\), а дисперсия равна \(npq\), где \(q = 1 - p\). Ожидание равно 100, а дисперсия — 75, поэтому \[\begin{cases} np = 100, \\ npq = 75. \end{cases}\]
Произведение \(npq\) отличается от \(np\) множителем \(q\), поэтому, разделив второе равенство на первое, получим вероятность неудачи: \[q = \frac{npq}{np} = \frac{75}{100} = 0{,}75.\]
Тогда вероятность успеха \(p = 1 - 0{,}75 = 0{,}25\), а число испытаний находим из первого равенства: \[n = \frac{100}{p} = \frac{100}{0{,}25} = 400.\]
Число \(n = 400\) натуральное, как и положено числу испытаний, а вероятность \(p = 0{,}25\) лежит между 0 и 1.
Проверка: \(np = 400 \cdot 0{,}25 = 100\), \(npq = 400 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75 = 75\).
Ответ: \(n = 400\), \(p = 0{,}25\), то есть \(X \sim Bi(400;\ 0{,}25)\).
