Страница 181 номер 394, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Кубик правильный, броски независимы. Исход — упорядоченная пара чисел: очки при первом и при втором броске; всего \(6 \cdot 6 = 36\) равновозможных исходов, поэтому вероятность значения величины — число его исходов, делённое на 36.
\(X\) — сумма очков, \(Y\) — модуль разности очков, \(Z\) — наибольшее число очков, \(T\) — наименьшее число очков.
а) Суммы 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 получаются из 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 исходов соответственно (сумму 2 даёт один исход \((1;\ 1)\), сумму 3 — два исхода \((1;\ 2)\) и \((2;\ 1)\) и так далее).
Суммы, одинаково удалённые от 7, получаются из одинакового числа исходов — распределение симметрично относительно числа 7, поэтому \(\mathrm{E}X = 7\).
Квадраты отклонений сумм 2, 3, 4, 5, 6 от 7 равны 25, 16, 9, 4, 1, у сумм 12, 11, 10, 9, 8 они такие же, у суммы 7 отклонение равно нулю. По определению \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}(X - \mathrm{E}X)^2\): \[\begin{aligned} &\mathrm{D}X = \frac{2 \cdot (25 \cdot 1 + 16 \cdot 2 + 9 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + 1 \cdot 5)}{36} = {} \\ &= \frac{2 \cdot 105}{36} = \frac{35}{6} \approx 5{,}833. \end{aligned}\]
б) Модуль разности равен 0, когда при обоих бросках выпало одно и то же число, — шесть исходов. Значение \(k\) от 1 до 5 получается из \(2 \cdot (6 - k)\) исходов: меньшее число можно выбрать \(6 - k\) способами, и выпасть оно может как при первом, так и при втором броске. Значения 0, 1, 2, 3, 4, 5 получаются из 6, 10, 8, 6, 4, 2 исходов: \[Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \frac{6}{36} & \frac{10}{36} & \frac{8}{36} & \frac{6}{36} & \frac{4}{36} & \frac{2}{36} \end{pmatrix}.\]
\[\mathrm{E}Y = \frac{0 \cdot 6 + 1 \cdot 10 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 4 + 5 \cdot 2}{36} = \frac{70}{36} = \frac{35}{18}.\] \[\mathrm{E}Y^2 = \frac{0 \cdot 6 + 1 \cdot 10 + 4 \cdot 8 + 9 \cdot 6 + 16 \cdot 4 + 25 \cdot 2}{36} = \frac{210}{36} = \frac{35}{6}.\]
\(\mathrm{D}Y = \mathrm{E}Y^2 - \mathrm{E}^2 Y\) — математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания: \[\begin{aligned} &\mathrm{D}Y = \frac{35}{6} - \left(\frac{35}{18}\right)^2 = \frac{35}{6} - \frac{1225}{324} = {} \\ &= \frac{1890 - 1225}{324} = \frac{665}{324} \approx 2{,}052. \end{aligned}\]
в) Наибольшее число очков равно \(k\) у пар \((k;\ j)\) и \((j;\ k)\), где \(j\) от 1 до \(k\); пара \((k;\ k)\) входит в оба набора и считается один раз. Всего таких исходов \(2k - 1\), то есть значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 получаются из 1, 3, 5, 7, 9, 11 исходов: \[Z \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \frac{1}{36} & \frac{3}{36} & \frac{5}{36} & \frac{7}{36} & \frac{9}{36} & \frac{11}{36} \end{pmatrix}.\]
\[\mathrm{E}Z = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11}{36} = \frac{161}{36}.\] \[\mathrm{E}Z^2 = \frac{1 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 9 \cdot 5 + 16 \cdot 7 + 25 \cdot 9 + 36 \cdot 11}{36} = \frac{791}{36}.\] \[\begin{aligned} &\mathrm{D}Z = \frac{791}{36} - \left(\frac{161}{36}\right)^2 = \frac{791 \cdot 36 - 161^2}{1296} = {} \\ &= \frac{28\,476 - 25\,921}{1296} = \frac{2555}{1296} \approx 1{,}971. \end{aligned}\]
г) Наименьшее число очков равно \(k\) у пар \((k;\ j)\) и \((j;\ k)\), где \(j\) от \(k\) до 6; пара \((k;\ k)\) снова считается один раз. Всего таких исходов \(2 \cdot (6 - k) + 1 = 13 - 2k\), то есть значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 получаются из 11, 9, 7, 5, 3, 1 исходов: \[T \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \frac{11}{36} & \frac{9}{36} & \frac{7}{36} & \frac{5}{36} & \frac{3}{36} & \frac{1}{36} \end{pmatrix}.\]
\[\mathrm{E}T = \frac{1 \cdot 11 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 1}{36} = \frac{91}{36}.\] \[\mathrm{E}T^2 = \frac{1 \cdot 11 + 4 \cdot 9 + 9 \cdot 7 + 16 \cdot 5 + 25 \cdot 3 + 36 \cdot 1}{36} = \frac{301}{36}.\] \[\begin{aligned} &\mathrm{D}T = \frac{301}{36} - \left(\frac{91}{36}\right)^2 = \frac{301 \cdot 36 - 91^2}{1296} = {} \\ &= \frac{10\,836 - 8281}{1296} = \frac{2555}{1296} \approx 1{,}971. \end{aligned}\]
Ответ: а) дисперсия суммы очков \(\mathrm{D}X = \dfrac{35}{6} \approx 5{,}833\); б) дисперсия модуля разности очков \(\mathrm{D}Y = \dfrac{665}{324} \approx 2{,}052\); в) дисперсия наибольшего числа очков \(\mathrm{D}Z = \dfrac{2555}{1296} \approx 1{,}971\); г) дисперсия наименьшего числа очков \(\mathrm{D}T = \dfrac{2555}{1296} \approx 1{,}971\).
Кубик считаем правильным: при каждом броске все шесть граней равновозможны, а броски независимы. Исход опыта — упорядоченная пара чисел: очки при первом и при втором броске. Всего исходов \(6 \cdot 6 = 36\), и все они равновозможны, поэтому вероятность каждого значения величины равна числу исходов, при которых оно получается, делённому на 36.
Обозначим: \(X\) — сумма очков, \(Y\) — модуль разности очков, \(Z\) — наибольшее число очков, \(T\) — наименьшее число очков. Дисперсии находим по определению \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}(X - \mathrm{E}X)^2\) или по формуле \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\) (математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания) и округляем до тысячных.
а) Сумма очков принимает значения от 2 до 12. Сумму 2 даёт один исход \((1;\ 1)\), сумму 3 — два исхода \((1;\ 2)\) и \((2;\ 1)\), и так далее: суммы 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 получаются из 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 исходов соответственно. Проверка: всего исходов \(2 \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 36\).
Суммы, одинаково удалённые от 7 (2 и 12, 3 и 11 и так далее), получаются из одинакового числа исходов, то есть распределение симметрично относительно числа 7, поэтому \(\mathrm{E}X = 7\). Квадраты отклонений сумм 2, 3, 4, 5, 6 от числа 7 равны 25, 16, 9, 4, 1, у сумм 12, 11, 10, 9, 8 они такие же, а у суммы 7 отклонение равно нулю. По определению дисперсии \[\begin{aligned} &\mathrm{D}X = \frac{2 \cdot (25 \cdot 1 + 16 \cdot 2 + 9 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + 1 \cdot 5)}{36} = {} \\ &= \frac{2 \cdot 105}{36} = \frac{35}{6} \approx 5{,}833. \end{aligned}\]
б) Модуль разности очков принимает значения от 0 до 5. Значение 0 получается, когда при обоих бросках выпало одно и то же число, — это шесть исходов. Значение \(k\) от 1 до 5 получается, когда одно из чисел на \(k\) больше другого: меньшее число можно выбрать \(6 - k\) способами, и выпасть оно может как при первом, так и при втором броске, — всего \(2 \cdot (6 - k)\) исходов. Значит, значения 0, 1, 2, 3, 4, 5 получаются из 6, 10, 8, 6, 4, 2 исходов; проверка: \(6 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 36\). Распределение величины \(Y\): \[Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \frac{6}{36} & \frac{10}{36} & \frac{8}{36} & \frac{6}{36} & \frac{4}{36} & \frac{2}{36} \end{pmatrix}.\]
Математическое ожидание: \[\mathrm{E}Y = \frac{0 \cdot 6 + 1 \cdot 10 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 4 + 5 \cdot 2}{36} = \frac{70}{36} = \frac{35}{18}.\]
Математическое ожидание квадрата: \[\mathrm{E}Y^2 = \frac{0 \cdot 6 + 1 \cdot 10 + 4 \cdot 8 + 9 \cdot 6 + 16 \cdot 4 + 25 \cdot 2}{36} = \frac{210}{36} = \frac{35}{6}.\]
Дисперсия: \[\begin{aligned} &\mathrm{D}Y = \frac{35}{6} - \left(\frac{35}{18}\right)^2 = \frac{35}{6} - \frac{1225}{324} = {} \\ &= \frac{1890 - 1225}{324} = \frac{665}{324} \approx 2{,}052. \end{aligned}\]
в) Наибольшее число очков равно \(k\), когда одно из чисел равно \(k\), а другое не больше \(k\): это пары \((k;\ j)\) и \((j;\ k)\), где \(j\) от 1 до \(k\), причём пара \((k;\ k)\) входит в оба набора и считается один раз. Всего таких исходов \(2k - 1\): значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 получаются из 1, 3, 5, 7, 9, 11 исходов; проверка: \(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36\). Распределение величины \(Z\): \[Z \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \frac{1}{36} & \frac{3}{36} & \frac{5}{36} & \frac{7}{36} & \frac{9}{36} & \frac{11}{36} \end{pmatrix}.\]
Математическое ожидание: \[\mathrm{E}Z = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11}{36} = \frac{161}{36}.\]
Математическое ожидание квадрата: \[\mathrm{E}Z^2 = \frac{1 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 9 \cdot 5 + 16 \cdot 7 + 25 \cdot 9 + 36 \cdot 11}{36} = \frac{791}{36}.\]
Дисперсия: \[\begin{aligned} &\mathrm{D}Z = \frac{791}{36} - \left(\frac{161}{36}\right)^2 = \frac{791 \cdot 36 - 161^2}{1296} = {} \\ &= \frac{28\,476 - 25\,921}{1296} = \frac{2555}{1296} \approx 1{,}971. \end{aligned}\]
г) Наименьшее число очков равно \(k\), когда одно из чисел равно \(k\), а другое не меньше \(k\): это пары \((k;\ j)\) и \((j;\ k)\), где \(j\) от \(k\) до 6, и пара \((k;\ k)\) снова считается один раз. Всего таких исходов \(2 \cdot (6 - k) + 1 = 13 - 2k\): значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 получаются из 11, 9, 7, 5, 3, 1 исходов; проверка: \(11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 36\). Распределение величины \(T\): \[T \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \frac{11}{36} & \frac{9}{36} & \frac{7}{36} & \frac{5}{36} & \frac{3}{36} & \frac{1}{36} \end{pmatrix}.\]
Математическое ожидание: \[\mathrm{E}T = \frac{1 \cdot 11 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 1}{36} = \frac{91}{36}.\]
Математическое ожидание квадрата: \[\mathrm{E}T^2 = \frac{1 \cdot 11 + 4 \cdot 9 + 9 \cdot 7 + 16 \cdot 5 + 25 \cdot 3 + 36 \cdot 1}{36} = \frac{301}{36}.\]
Дисперсия: \[\begin{aligned} &\mathrm{D}T = \frac{301}{36} - \left(\frac{91}{36}\right)^2 = \frac{301 \cdot 36 - 91^2}{1296} = {} \\ &= \frac{10\,836 - 8281}{1296} = \frac{2555}{1296} \approx 1{,}971. \end{aligned}\]
Дисперсии в пунктах в) и г) совпали не случайно: числа исходов у наименьшего числа очков те же, что у наибольшего, только идут в обратном порядке, — распределения величин \(Z\) и \(T\) зеркальны, и значения рассеяны одинаково.
Ответ: а) дисперсия суммы очков \(\mathrm{D}X = \dfrac{35}{6} \approx 5{,}833\); б) дисперсия модуля разности очков \(\mathrm{D}Y = \dfrac{665}{324} \approx 2{,}052\); в) дисперсия наибольшего числа очков \(\mathrm{D}Z = \dfrac{2555}{1296} \approx 1{,}971\); г) дисперсия наименьшего числа очков \(\mathrm{D}T = \dfrac{2555}{1296} \approx 1{,}971\).
