Вопросы после параграфа §39 на странице 193, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава IX. Закон больших чисел. §39. Неравенство Чебышёва. Страница 193, вопросы после параграфа §39

Решение:

1. Какому условию должна удовлетворять случайная величина, чтобы для неё выполнялось неравенство Маркова?

Неравенство Маркова применимо к случайной величине \(X\), которая принимает только неотрицательные значения; кроме того, у неё должно существовать математическое ожидание \(\mathrm{E}X\).

Без неотрицательности неравенство неверно. Пусть \(X\) принимает значения \(-10\) и \(10\), каждое с вероятностью \(0{,}5\): \[\mathrm{E}X = -10 \cdot 0{,}5 + 10 \cdot 0{,}5 = 0.\]

При \(a = 10\) правая часть неравенства Маркова равна \(\frac{\mathrm{E}X}{a} = \frac{0}{10} = 0\), а на самом деле \(\mathrm{P}(X \geqslant 10) = 0{,}5\), и неравенство \(0{,}5 \leqslant 0\) неверно.

Ответ: случайная величина должна принимать только неотрицательные значения и иметь математическое ожидание.

2. Запишите неравенство Маркова.

Пусть случайная величина \(X\) принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание \(\mathrm{E}X\). Тогда для любого положительного числа \(a\) \[\mathrm{P}(X \geqslant a) \leqslant \frac{\mathrm{E}X}{a}.\]

Слева стоит вероятность того, что величина примет значение, не меньшее чем \(a\): чем дальше граница \(a\) от среднего значения, тем меньше правая часть, то есть тем реже случается такое отклонение.

Ответ: если случайная величина \(X\) принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание \(\mathrm{E}X\), то для любого положительного числа \(a\) верно \(\mathrm{P}(X \geqslant a) \leqslant \frac{\mathrm{E}X}{a}\).

3. Каким условиям должна удовлетворять случайная величина, чтобы для неё выполнялось неравенство Чебышёва?

Условий два: у случайной величины \(X\) должно существовать математическое ожидание \(\mathrm{E}X\) и должна существовать дисперсия \(\mathrm{D}X\). Неотрицательности значений, в отличие от неравенства Маркова, не требуется: неравенство Чебышёва оценивает отклонение величины от её собственного среднего, а не сами значения величины.

Ответ: у случайной величины должны существовать математическое ожидание и дисперсия.

4. Существует ли случайная величина, к которой применимо неравенство Маркова, а неравенство Чебышёва — нет?

Да. Неравенству Маркова нужны неотрицательность значений и существование математического ожидания, неравенству Чебышёва — существование математического ожидания и дисперсии, значит, подойдёт неотрицательная величина, у которой ожидание есть, а дисперсии нет.

Пусть \(X\) принимает значение \(\sqrt{2}^{\,k}\) с вероятностью \(0{,}5^{k}\) при каждом натуральном \(k\): \[X \sim \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{4} & \sqrt{8} & \dots & \sqrt{2}^{\,k} & \dots \\ 0{,}5 & 0{,}25 & 0{,}125 & \dots & 0{,}5^{k} & \dots \end{pmatrix}.\]

Все значения положительны, а вероятности образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом \(0{,}5\) и знаменателем \(0{,}5\), сумма которой равна \(\frac{0{,}5}{1 - 0{,}5} = 1\), — перед нами действительно распределение.

Слагаемое с номером \(k\) равно \(\sqrt{2}^{\,k} \cdot 0{,}5^{k} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{k} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{k}\), то есть слагаемые тоже образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: \[\mathrm{E}X = \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + \ldots = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1.\]

Квадрат значения равен \(\left(\sqrt{2}^{\,k}\right)^{2} = 2^{k}\), поэтому слагаемое с номером \(k\) равно \(2^{k} \cdot 0{,}5^{k} = 1\) при каждом \(k\): \[\mathrm{E}X^2 = 2 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}25 + 8 \cdot 0{,}125 + \ldots = 1 + 1 + 1 + \ldots\]

Сумма бесконечного числа единиц неограниченно растёт, конечного значения у \(\mathrm{E}X^2\) нет, а значит, нет и дисперсии.

Следовательно, к величине \(X\) неравенство Маркова применимо, а неравенство Чебышёва — нет.

Ответ: да, существует; например, неотрицательная величина, принимающая значение \(\sqrt{2}^{\,k}\) с вероятностью \(0{,}5^{k}\): её математическое ожидание равно \(\sqrt{2} + 1\), а дисперсии у неё нет.

5. Запишите неравенство Чебышёва.

Пусть случайная величина \(X\) имеет математическое ожидание \(\mathrm{E}X\) и дисперсию \(\mathrm{D}X\). Тогда для любого положительного числа \(a\) \[\mathrm{P}(|X - \mathrm{E}X| \geqslant a) \leqslant \frac{\mathrm{D}X}{a^2}.\]

Слева стоит вероятность того, что значение величины отклонится от её математического ожидания не меньше чем на \(a\) в любую сторону: чем больше \(a\), тем меньше правая часть.

Ответ: если случайная величина \(X\) имеет математическое ожидание \(\mathrm{E}X\) и дисперсию \(\mathrm{D}X\), то для любого положительного числа \(a\) верно \(\mathrm{P}(|X - \mathrm{E}X| \geqslant a) \leqslant \frac{\mathrm{D}X}{a^2}\).

Решение:

1. Какому условию должна удовлетворять случайная величина, чтобы для неё выполнялось неравенство Маркова?

Неравенство Маркова применимо к случайной величине \(X\), которая принимает только неотрицательные значения: отрицательных значений у неё нет ни одного. Это главное требование. Кроме него теорема называет и второе, без которого неравенство просто нечего было бы записать: у величины \(X\) должно существовать математическое ожидание \(\mathrm{E}X\).

Без неотрицательности неравенство перестаёт быть верным. Пусть, например, величина \(X\) принимает значения \(-10\) и \(10\), каждое с вероятностью \(0{,}5\). Тогда \(\mathrm{E}X = -10 \cdot 0{,}5 + 10 \cdot 0{,}5 = 0\), и при \(a = 10\) правая часть неравенства Маркова равна \(\frac{\mathrm{E}X}{a} = \frac{0}{10} = 0\), тогда как на самом деле \(\mathrm{P}(X \geqslant 10) = 0{,}5\). Неравенство \(0{,}5 \leqslant 0\) неверно, и причина одна — величина принимает отрицательное значение.

2. Запишите неравенство Маркова.

Слева стоит вероятность того, что величина примет значение, не меньшее чем \(a\). Чем дальше граница \(a\) от среднего значения, тем меньше правая часть, то есть тем реже случается такое отклонение.

Например, пусть \(X\) — время ожидания автобуса в минутах и среднее время ожидания равно 5 мин, то есть \(\mathrm{E}X = 5\) мин. Время неотрицательно, поэтому неравенство Маркова применимо, и при \(a = 20\) оно даёт \(\mathrm{P}(X \geqslant 20) \leqslant \frac{5}{20} = 0{,}25\) — ждать автобуса 20 минут и дольше приходится не чаще чем в четверти случаев.

3. Каким условиям должна удовлетворять случайная величина, чтобы для неё выполнялось неравенство Чебышёва?

Условий два: у случайной величины \(X\) должно существовать математическое ожидание \(\mathrm{E}X\) и должна существовать дисперсия \(\mathrm{D}X\). Больше ничего не требуется. В частности, неотрицательности значений здесь не нужно, в отличие от неравенства Маркова: неравенство Чебышёва оценивает отклонение величины от её собственного среднего, а не сами значения величины.

Например, пусть \(X\) принимает значения \(-10\) и \(30\), каждое с вероятностью \(0{,}5\). Отрицательное значение у неё есть, но ожидание и дисперсия существуют: \(\mathrm{E}X = -10 \cdot 0{,}5 + 30 \cdot 0{,}5 = 10\), ожидание квадрата равно \(\mathrm{E}X^2 = 100 \cdot 0{,}5 + 900 \cdot 0{,}5 = 500\), а дисперсия равна ожиданию квадрата минус квадрат ожидания: \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2X = 500 - 10^2 = 400\). Значит, неравенство Чебышёва применимо, и при \(a = 40\) оно даёт \(\mathrm{P}(|X - 10| \geqslant 40) \leqslant \frac{400}{40^2} = 0{,}25\).

Ответ: у случайной величины должны существовать математическое ожидание и дисперсия.

4. Существует ли случайная величина, к которой применимо неравенство Маркова, а неравенство Чебышёва — нет?

Да, существует. Неравенству Маркова нужны неотрицательность значений и существование математического ожидания, неравенству Чебышёва — существование математического ожидания и дисперсии. Значит, подойдёт неотрицательная величина, у которой ожидание есть, а дисперсии нет.

Такая величина есть. Пусть \(X\) принимает значение \(\sqrt{2}^{\,k}\) с вероятностью \(0{,}5^{k}\) при каждом натуральном \(k\), то есть имеет распределение \[X \sim \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{4} & \sqrt{8} & \dots & \sqrt{2}^{\,k} & \dots \\ 0{,}5 & 0{,}25 & 0{,}125 & \dots & 0{,}5^{k} & \dots \end{pmatrix}.\]

Все значения этой величины положительны, так что она неотрицательна. Вероятности образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом \(0{,}5\) и знаменателем \(0{,}5\), а их сумма равна \(\frac{0{,}5}{1 - 0{,}5} = 1\) — перед нами действительно распределение.

Математическое ожидание у величины \(X\) есть. Слагаемое с номером \(k\) равно \(\sqrt{2}^{\,k} \cdot 0{,}5^{k} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{k} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{k}\), то есть слагаемые тоже образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию — с первым членом \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) и тем же знаменателем: \[\mathrm{E}X = \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + \ldots = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1.\]

В последнем переходе числитель и знаменатель умножены на \(\sqrt{2} + 1\), и знаменатель стал равен \((\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = 2 - 1 = 1\).

А дисперсии у величины \(X\) нет. Дисперсия равна ожиданию квадрата минус квадрат ожидания, \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2X\), но ожидания квадрата у этой величины не существует: квадрат значения равен \(\left(\sqrt{2}^{\,k}\right)^{2} = 2^{k}\), поэтому слагаемое с номером \(k\) равно \(2^{k} \cdot 0{,}5^{k} = 1\) при каждом \(k\): \[\mathrm{E}X^2 = 2 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}25 + 8 \cdot 0{,}125 + \ldots = 1 + 1 + 1 + \ldots\]

Следовательно, к величине \(X\) неравенство Маркова применимо — значения неотрицательны, ожидание существует и равно \(\sqrt{2} + 1\), — а неравенство Чебышёва неприменимо, потому что дисперсии у неё нет.

5. Запишите неравенство Чебышёва.

Слева стоит вероятность того, что значение величины отклонится от её математического ожидания не меньше чем на \(a\) в любую сторону — и вправо, и влево. Чем больше \(a\), тем меньше правая часть: далёкие от среднего значения маловероятны, и чем они дальше, тем менее вероятны.

Например, пусть у величины \(X\) математическое ожидание \(\mathrm{E}X = 20\) и дисперсия \(\mathrm{D}X = 4\). Тогда при \(a = 5\) неравенство даёт \(\mathrm{P}(|X - 20| \geqslant 5) \leqslant \frac{4}{5^2} = \frac{4}{25} = 0{,}16\) — отклонение от 20 на 5 и больше случается не чаще чем в 16 случаях из 100.

Номер 417 Номер 418

смотреть все номера