Вопросы после параграфа §40 на странице 198, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава IX. Закон больших чисел. §40. Закон больших чисел (теорема Чебышёва). Страница 198, вопросы после параграфа §40

Решение:

1. Сформулируйте теорему Чебышёва.

Теорема Чебышёва (закон больших чисел). Пусть \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) — независимые случайные величины с одинаковым распределением, у которого есть математическое ожидание \(m\) и дисперсия \(d\), и пусть \(\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\) — их среднее арифметическое. Тогда для произвольного положительного числа \(a\) вероятность события \(\left|\bar{X} - m\right| < a\) стремится к 1 при увеличении \(n\): \[\mathrm{P}\left(\left|\bar{X} - m\right| < a\right) \xrightarrow{n \to \infty} 1.\]

Равенство \(\bar{X} = m\) ни при каком \(n\) не гарантировано: к 1 стремится вероятность малого различия между \(\bar{X}\) и \(m\), а вероятность большого различия стремится к нулю. Такой вид сходимости называют сходимостью по вероятности.

Ответ: если \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) — независимые случайные величины с одинаковым распределением, у которого есть математическое ожидание \(m\) и дисперсия \(d\), а \(\bar{X}\) — их среднее арифметическое, то для произвольного положительного числа \(a\) вероятность события \(\left|\bar{X} - m\right| < a\) стремится к 1 при увеличении \(n\): \(\mathrm{P}\left(\left|\bar{X} - m\right| < a\right) \xrightarrow{n \to \infty} 1\) (сходимость по вероятности).

2. Имеется последовательность наблюдений одной и той же величины в одних и тех же условиях. Что больше — математическое ожидание первого наблюдения или математическое ожидание среднего значения всех наблюдений?

Наблюдения \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) независимы и распределены одинаково (условия одни и те же), поэтому \(\mathrm{E}X_1 = \mathrm{E}X_2 = \ldots = \mathrm{E}X_n = m\), где \(m\) — математическое ожидание наблюдаемой величины.

Среднее значение всех наблюдений — величина \(\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\), а постоянный множитель выносится за знак математического ожидания: \[\mathrm{E}\bar{X} = \frac{\mathrm{E}X_1 + \mathrm{E}X_2 + \ldots + \mathrm{E}X_n}{n} = \frac{nm}{n} = m.\]

Оба математических ожидания равны \(m\): при усреднении математическое ожидание не меняется, и ни одно из них не больше другого.

Ответ: они равны — и математическое ожидание первого наблюдения, и математическое ожидание среднего значения всех наблюдений равны \(m\), математическому ожиданию наблюдаемой величины.

3. Имеется последовательность наблюдений одной и той же величины. Что больше — дисперсия первого наблюдения или дисперсия среднего значения всех наблюдений?

Наблюдения \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) распределены одинаково, поэтому \(\mathrm{D}X_1 = \mathrm{D}X_2 = \ldots = \mathrm{D}X_n = d\), где \(d\) — дисперсия наблюдаемой величины; дисперсия первого наблюдения равна \(d\).

Наблюдения независимы, поэтому дисперсия суммы равна сумме дисперсий, а постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате: \[\mathrm{D}\bar{X} = \mathrm{D}\left(\frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\right) = \frac{1}{n^2}(\mathrm{D}X_1 + \mathrm{D}X_2 + \ldots + \mathrm{D}X_n) = \frac{nd}{n^2} = \frac{d}{n}.\]

При \(n > 1\) число \(\frac{d}{n}\) меньше числа \(d\), поэтому больше дисперсия первого наблюдения; только при \(n = 1\) среднее совпадает с первым наблюдением и дисперсии равны.

Ответ: при \(n > 1\) больше дисперсия первого наблюдения: она равна \(d\), а дисперсия среднего значения всех наблюдений равна \(\frac{d}{n}\) — в \(n\) раз меньше.

4. Имеется последовательность наблюдений одной и той же величины. Можно ли утверждать, что среднее арифметическое всех наблюдений лучше, чем одно первое наблюдение?

«Лучше» здесь означает «ближе к математическому ожиданию \(m\)». У среднего арифметического \(\bar{X}\) математическое ожидание то же самое, \(\mathrm{E}\bar{X} = m\), а дисперсия в \(n\) раз меньше, \(\mathrm{D}\bar{X} = \frac{d}{n}\), где \(d\) — дисперсия одного наблюдения, поэтому при том же отклонении \(a\) неравенство Чебышёва даёт для среднего в \(n\) раз более сильную оценку: \[\mathrm{P}\left(\left|\bar{X} - m\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{d}{na^2}, \qquad \mathrm{P}\left(\left|X_1 - m\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{d}{a^2}.\]

Это утверждение о вероятностях, а не о каждом отдельном опыте: первое наблюдение может оказаться и ближе к \(m\), чем среднее, — такой исход только менее вероятен. Воспользоваться этим нельзя, ведь заранее неизвестно, какое из наблюдений точнее.

Ответ: да, но лишь в том смысле, что среднее арифметическое, скорее всего, ближе к математическому ожиданию, чем отдельное наблюдение; гарантии нет — в конкретном опыте первое наблюдение может оказаться и точнее среднего, просто заранее неизвестно, какое из наблюдений точнее.

5. Почему среднее арифметическое нескольких измерений более надёжно, чем одно измерение?

Результаты измерений — независимые одинаково распределённые величины \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\); математическое ожидание \(m\) их общего распределения — истинное значение измеряемой величины, дисперсия равна \(d\).

\(\mathrm{E}\bar{X} = m\) — среднее арифметическое колеблется вокруг того же значения, что и отдельное измерение.

\(\mathrm{D}\bar{X} = \frac{d}{n}\) — дисперсия среднего в \(n\) раз меньше дисперсии одного измерения, и для произвольного положительного числа \(a\) \[\mathrm{P}\left(\left|\bar{X} - m\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{d}{na^2}.\]

Правая часть с ростом \(n\) стремится к нулю, поэтому заметное отклонение среднего от истинного значения становится практически невозможным событием, а близость среднего к истинному значению — практически достоверным.

Ответ: потому что математическое ожидание среднего арифметического равно истинному значению \(m\), а дисперсия среднего в \(n\) раз меньше дисперсии одного измерения, \(\mathrm{D}\bar{X} = \frac{d}{n}\); по неравенству Чебышёва вероятность события \(\left|\bar{X} - m\right| \geqslant a\) не превосходит \(\frac{d}{na^2}\) и с ростом числа измерений стремится к нулю при произвольном положительном числе \(a\).

Решение:

1. Сформулируйте теорему Чебышёва.

Теорема Чебышёва — это закон больших чисел для среднего арифметического одинаково распределённых независимых величин.

Теорема Чебышёва (закон больших чисел). Пусть \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) — независимые случайные величины, имеющие одинаковое распределение с математическим ожиданием \(m\) и дисперсией \(d\), и пусть \(\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\) — их среднее арифметическое. Пусть \(a > 0\) — произвольное положительное число. Тогда вероятность события \(\left|\bar{X} - m\right| < a\) стремится к 1 при увеличении \(n\): \[\mathrm{P}\left(\left|\bar{X} - m\right| < a\right) \xrightarrow{n \to \infty} 1.\]

Условия теоремы названы в самой формулировке: величины независимы, распределены одинаково, и у этого общего распределения есть и математическое ожидание \(m\), и дисперсия \(d\). Число \(a\) произвольно, поэтому утверждение верно для сколь угодно малого отклонения.

Теорема не утверждает, что \(\bar{X}\) стремится к \(m\): величина \(\bar{X}\) случайная, и ни при каком \(n\) равенство \(\bar{X} = m\) не гарантировано. Утверждается другое: вероятность малого различия между \(\bar{X}\) и \(m\) стремится к единице, а вероятность большого различия — к нулю. Такой вид сходимости называют сходимостью по вероятности.

Например, правильный кубик (все шесть граней равновозможны) бросают \(n\) раз, \(X_k\) — число очков в \(k\)-м бросании, \(\bar{X}\) — среднее число очков за все бросания. Здесь \(m = 3{,}5\) и \(d = \frac{35}{12}\), а дисперсия среднего равна \(\mathrm{D}\bar{X} = \frac{d}{n} = \frac{35}{12n}\). Возьмём \(a = 0{,}5\); уже при \(n = 140\) неравенство Чебышёва даёт \[\mathrm{P}\left(\left|\bar{X} - 3{,}5\right| \geqslant 0{,}5\right) \leqslant \frac{d}{na^2} = \frac{35}{12 \cdot 140 \cdot 0{,}25} = \frac{35}{420} = \frac{1}{12}.\]

Для противоположного события это даёт \(\mathrm{P}\left(\left|\bar{X} - 3{,}5\right| < 0{,}5\right) \geqslant \frac{11}{12}\), и с ростом числа бросаний нижняя граница приближается к 1.

Наблюдения — случайные величины \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\), независимые и распределённые одинаково: условия наблюдений одни и те же, поэтому распределение у каждого из них то же самое, что у наблюдаемой величины. Обозначим её математическое ожидание \(m\), тогда \[\mathrm{E}X_1 = \mathrm{E}X_2 = \ldots = \mathrm{E}X_n = m.\]

Среднее значение всех наблюдений — случайная величина \(\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\). Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, а постоянный множитель выносится за знак математического ожидания: \[\mathrm{E}\bar{X} = \mathrm{E}\left(\frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\right) = \frac{\mathrm{E}X_1 + \mathrm{E}X_2 + \ldots + \mathrm{E}X_n}{n} = \frac{nm}{n} = m.\]

Оба математических ожидания равны одному и тому же числу \(m\), значит, ни одно из них не больше другого: при усреднении математическое ожидание не меняется.

Наблюдения \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) распределены одинаково, поэтому дисперсия у каждого из них одна и та же — дисперсия наблюдаемой величины. Обозначим её \(d\), тогда \(\mathrm{D}X_1 = \mathrm{D}X_2 = \ldots = \mathrm{D}X_n = d\), и в частности дисперсия первого наблюдения равна \(d\). Среднее значение всех наблюдений — случайная величина \(\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\).

Наблюдения независимы, поэтому дисперсия их суммы равна сумме дисперсий; постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате: \[\begin{aligned} &\mathrm{D}\bar{X} = \mathrm{D}\left(\frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\right) = {} \\ &= \frac{1}{n^2}(\mathrm{D}X_1 + \mathrm{D}X_2 + \ldots + \mathrm{D}X_n) = \frac{nd}{n^2} = \frac{d}{n}. \end{aligned}\]

Дисперсия среднего значения всех наблюдений в \(n\) раз меньше дисперсии одного наблюдения. При \(n > 1\) число \(\frac{d}{n}\) меньше числа \(d\), поэтому больше дисперсия первого наблюдения. Только при \(n = 1\) среднее совпадает с первым наблюдением и дисперсии равны.

Слово «лучше» здесь означает «ближе к истинному значению», то есть к математическому ожиданию \(m\) наблюдаемой величины. У среднего арифметического \(\bar{X}\) математическое ожидание то же самое, \(\mathrm{E}\bar{X} = m\), а дисперсия в \(n\) раз меньше, \(\mathrm{D}\bar{X} = \frac{d}{n}\), где \(d\) — дисперсия одного наблюдения. Поэтому неравенство Чебышёва для среднего даёт при том же отклонении \(a\) в \(n\) раз более сильную оценку: \[\mathrm{P}\left(\left|\bar{X} - m\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{d}{na^2}, \qquad \mathrm{P}\left(\left|X_1 - m\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{d}{a^2}.\]

Но это утверждение о вероятностях, а не о каждом отдельном опыте. Может случиться, что именно первое наблюдение оказалось ближе к \(m\), чем среднее всех наблюдений: такой исход не запрещён, он только менее вероятен. Воспользоваться этим нельзя, ведь заранее неизвестно, какое из наблюдений точнее; знай мы это, усреднение и не понадобилось бы.

5. Почему среднее арифметическое нескольких измерений более надёжно, чем одно измерение?

Результаты измерений — независимые случайные величины \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) с одним и тем же распределением, математическое ожидание которого \(m\) — истинное значение измеряемой величины, а дисперсия равна \(d\). При усреднении математическое ожидание не меняется, \(\mathrm{E}\bar{X} = m\), то есть среднее арифметическое измерений колеблется вокруг того же значения, что и отдельное измерение.

А дисперсия при усреднении уменьшается: \(\mathrm{D}\bar{X} = \frac{d}{n}\), она в \(n\) раз меньше дисперсии одного измерения. Значит, разброс среднего вокруг истинного значения тем меньше, чем больше измерений. Для произвольного положительного числа \(a\) неравенство Чебышёва даёт \[\mathrm{P}\left(\left|\bar{X} - m\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{d}{na^2}.\]