Страница 180 номер 386, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\) — математическое ожидание квадрата величины минус квадрат её математического ожидания.
а) \(X \sim \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 0{,}2 & 0{,}6 & 0{,}2 \end{pmatrix}\).
\(\mathrm{E}X = -2 \cdot 0{,}2 + 0 \cdot 0{,}6 + 2 \cdot 0{,}2 = -0{,}4 + 0 + 0{,}4 = 0\).
\(\mathrm{E}X^2 = 4 \cdot 0{,}2 + 0 \cdot 0{,}6 + 4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8 + 0 + 0{,}8 = 1{,}6\).
\[\mathrm{D}X = 1{,}6 - 0^2 = 1{,}6.\]
б) \(X \sim \begin{pmatrix} -3 & 1 & 3 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}\).
\[\mathrm{E}X = -3 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 1.\] \[\mathrm{E}X^2 = 9 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 9 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + 3 = 5.\] \[\mathrm{D}X = 5 - 1^2 = 4.\]
в) \(X \sim \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 \end{pmatrix}\).
\(\mathrm{E}X = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) \cdot 0{,}2 = 30 \cdot 0{,}2 = 6\) — все вероятности равны \(0{,}2\).
\(\mathrm{E}X^2 = (4 + 16 + 36 + 64 + 100) \cdot 0{,}2 = 220 \cdot 0{,}2 = 44\).
\[\mathrm{D}X = 44 - 6^2 = 44 - 36 = 8.\]
Ответ: дисперсия величины \(X\) равна: а) \(1{,}6\); б) 4; в) 8.
Дисперсию каждой величины находим по формуле \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\): математическое ожидание квадрата величины минус квадрат её математического ожидания. Величина \(X^2\) принимает квадраты значений величины \(X\) с теми же вероятностями.
а) Случайная величина \(X\) имеет распределение \[X \sim \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 0{,}2 & 0{,}6 & 0{,}2 \end{pmatrix}.\]
Её математическое ожидание \(\mathrm{E}X = -2 \cdot 0{,}2 + 0 \cdot 0{,}6 + 2 \cdot 0{,}2 = -0{,}4 + 0 + 0{,}4 = 0\), математическое ожидание квадрата \(\mathrm{E}X^2 = 4 \cdot 0{,}2 + 0 \cdot 0{,}6 + 4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8 + 0 + 0{,}8 = 1{,}6\). Значит, \[\mathrm{D}X = 1{,}6 - 0^2 = 1{,}6.\]
б) Случайная величина \(X\) имеет распределение \[X \sim \begin{pmatrix} -3 & 1 & 3 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}.\]
Математическое ожидание: \[\mathrm{E}X = -3 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 1.\]
Математическое ожидание квадрата: \[\mathrm{E}X^2 = 9 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 9 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + 3 = 5.\]
Значит, \(\mathrm{D}X = 5 - 1^2 = 4\). Проверка по определению: отклонения значений от \(\mathrm{E}X = 1\) равны \(-4\), 0 и 2, их квадраты — 16, 0 и 4, и \(\mathrm{D}X = 16 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{3} + \frac{4}{3} = 4\).
в) Случайная величина \(X\) имеет распределение \[X \sim \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 \end{pmatrix}.\]
Все вероятности равны \(0{,}2\), поэтому \(\mathrm{E}X = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) \cdot 0{,}2 = 30 \cdot 0{,}2 = 6\) и \(\mathrm{E}X^2 = (4 + 16 + 36 + 64 + 100) \cdot 0{,}2 = 220 \cdot 0{,}2 = 44\). Значит, \[\mathrm{D}X = 44 - 6^2 = 44 - 36 = 8.\]
Ответ: дисперсия величины \(X\) равна: а) \(1{,}6\); б) 4; в) 8.
