Страница 183 номер 398, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Известна дисперсия \(\mathrm{D}X = 6\) случайной величины \(X\). Найдите дисперсию случайной величины \(Y\):
а) \(Y = -X\);
б) \(Y = 3 + X\);
в) \(Y = 3X\);
г) \(Y = 2 - 3X\).
Во всех пунктах \(Y = aX + b\), где \(a\) и \(b\) — постоянные, поэтому \(\mathrm{D}Y = a^2\mathrm{D}X\): постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате, а постоянное слагаемое дисперсию не меняет. По условию \(\mathrm{D}X = 6\).
а) \(Y = -X = (-1) \cdot X + 0\), здесь \(a = -1\), \(b = 0\), поэтому \[\mathrm{D}Y = (-1)^2 \cdot \mathrm{D}X = 1 \cdot 6 = 6.\]
б) \(Y = 3 + X = 1 \cdot X + 3\), здесь \(a = 1\), \(b = 3\), поэтому \[\mathrm{D}Y = 1^2 \cdot \mathrm{D}X = 1 \cdot 6 = 6.\]
в) \(Y = 3X\), здесь \(a = 3\), \(b = 0\), поэтому \[\mathrm{D}Y = 3^2 \cdot \mathrm{D}X = 9 \cdot 6 = 54.\]
г) \(Y = 2 - 3X = (-3) \cdot X + 2\), здесь \(a = -3\), \(b = 2\), поэтому \[\mathrm{D}Y = (-3)^2 \cdot \mathrm{D}X = 9 \cdot 6 = 54.\]
Ответ: а) дисперсия величины \(Y = -X\) равна 6; б) дисперсия величины \(Y = 3 + X\) равна 6; в) дисперсия величины \(Y = 3X\) равна 54; г) дисперсия величины \(Y = 2 - 3X\) равна 54.
Известна дисперсия \(\mathrm{D}X = 6\) случайной величины \(X\). Найдите дисперсию случайной величины \(Y\):
а) \(Y = -X\);
б) \(Y = 3 + X\);
в) \(Y = 3X\);
г) \(Y = 2 - 3X\).
Во всех пунктах величина \(Y\) линейно выражается через \(X\): \(Y = aX + b\), где \(a\) и \(b\) — постоянные. При такой зависимости \(\mathrm{D}Y = a^2\mathrm{D}X\): постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате, а постоянное слагаемое дисперсию не меняет. По условию \(\mathrm{D}X = 6\).
а) \(Y = -X = (-1) \cdot X + 0\), здесь \(a = -1\), \(b = 0\), поэтому \[\mathrm{D}Y = (-1)^2 \cdot \mathrm{D}X = 1 \cdot 6 = 6.\]
б) \(Y = 3 + X = 1 \cdot X + 3\), здесь \(a = 1\), \(b = 3\), поэтому \[\mathrm{D}Y = 1^2 \cdot \mathrm{D}X = 1 \cdot 6 = 6.\]
в) \(Y = 3X\), здесь \(a = 3\), \(b = 0\), поэтому \[\mathrm{D}Y = 3^2 \cdot \mathrm{D}X = 9 \cdot 6 = 54.\]
г) \(Y = 2 - 3X = (-3) \cdot X + 2\), здесь \(a = -3\), \(b = 2\), поэтому \[\mathrm{D}Y = (-3)^2 \cdot \mathrm{D}X = 9 \cdot 6 = 54.\]
Дисперсии в пунктах а) и б) равны \(\mathrm{D}X\), а в пунктах в) и г) совпадают между собой: знак множителя при возведении в квадрат пропадает, а прибавление постоянной на дисперсию не влияет.
Ответ: а) дисперсия величины \(Y = -X\) равна 6; б) дисперсия величины \(Y = 3 + X\) равна 6; в) дисперсия величины \(Y = 3X\) равна 54; г) дисперсия величины \(Y = 2 - 3X\) равна 54.
