Страница 188 номер 412, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
\(n = 1000\) — число опрошенных школьников
\(p_1 = 0{,}8\) — вероятность ответа «да» на первый вопрос, о продолжении обучения после школы
\(p_2 = 0{,}1\) — вероятность ответа «да» на второй вопрос, об участии в олимпиадах по математике
Найти: для какого вопроса дисперсия числа ответов «да» больше и на сколько.
Решение:
\(X\) — число ответов «да» на первый вопрос, \(Y\) — на второй. Считаем, что школьники отвечают независимо друг от друга и вероятность ответа «да» на каждый вопрос у всех одна и та же; тогда ответы на вопрос — серия из \(n = 1000\) одинаковых независимых испытаний Бернулли, и \(X \sim Bi(1000;\ 0{,}8)\), \(Y \sim Bi(1000;\ 0{,}1)\).
Дисперсия биномиального распределения равна \(npq\), где \(q = 1 - p\):
\(\mathrm{D}X = 1000 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 160\) — для первого вопроса;
\(\mathrm{D}Y = 1000 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9 = 90\) — для второго вопроса.
Дисперсия больше для первого вопроса, на \(160 - 90 = 70\).
Ответ: дисперсия числа ответов «да» больше для первого вопроса, на 70.
Дано:
\(n = 1000\) — число опрошенных школьников
\(p_1 = 0{,}8\) — вероятность ответа «да» на первый вопрос, о продолжении обучения после школы
\(p_2 = 0{,}1\) — вероятность ответа «да» на второй вопрос, об участии в олимпиадах по математике
Найти: для какого вопроса дисперсия числа ответов «да» больше и на сколько.
Решение:
Обозначим через \(X\) число ответов «да» на первый вопрос, а через \(Y\) — на второй. Будем считать, что школьники отвечают независимо друг от друга и что вероятность ответа «да» на каждый вопрос у всех школьников одна и та же. Тогда ответы на первый вопрос — серия из \(n = 1000\) одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха (ответа «да») \(p_1 = 0{,}8\), то есть \(X \sim Bi(1000;\ 0{,}8)\). Точно так же \(Y \sim Bi(1000;\ 0{,}1)\). Каждая из величин считается по ответам на свой вопрос, поэтому то, как связаны два ответа одного школьника, здесь значения не имеет.
Дисперсия биномиального распределения равна \(npq\), где \(q = 1 - p\) — вероятность неудачи:
\(\mathrm{D}X = 1000 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 160\) — дисперсия числа ответов «да» на первый вопрос;
\(\mathrm{D}Y = 1000 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9 = 90\) — дисперсия числа ответов «да» на второй вопрос.
Дисперсия больше для первого вопроса, и разность дисперсий равна \(160 - 90 = 70\).
Ответ: дисперсия числа ответов «да» больше для первого вопроса, на 70.
