Вопросы после параграфа §36 на странице 179, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава VIII. Рассеивание случайных величин. §36. Дисперсия и стандартное отклонение дискретной случайной величины. Страница 179, вопросы после параграфа §36

Решение:

1. Что такое дисперсия и что такое стандартное отклонение случайной величины?

Если величина \(X\) принимает значения \(x_1, x_2, x_3, \ldots\) с вероятностями \(p_1, p_2, p_3, \ldots\) и имеет математическое ожидание \(\mathrm{E}X\), то её дисперсия \(\mathrm{D}X\) — математическое ожидание квадрата отклонения от \(\mathrm{E}X\): \[\mathrm{D}X = \mathrm{E}(X - \mathrm{E}X)^2 = (x_1 - \mathrm{E}X)^2 \cdot p_1 + (x_2 - \mathrm{E}X)^2 \cdot p_2 + \ldots\]

Дисперсия показывает, насколько сильно значения величины рассеяны вокруг её математического ожидания.

Вычислять дисперсию удобнее по формуле \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\): математическое ожидание квадрата величины минус квадрат её математического ожидания.

Конечная случайная величина всегда имеет дисперсию, бесконечная может её не иметь.

Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии \(\sqrt{\mathrm{D}X}\); оно измеряется в тех же единицах, что и сама величина, а дисперсия — в квадратах этих единиц.

Ответ: дисперсия \(\mathrm{D}X\) — математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}(X - \mathrm{E}X)^2\), или, что то же самое, \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\); стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии \(\sqrt{\mathrm{D}X}\).

2. Может ли дисперсия случайной величины равняться 0? Что это за случайная величина?

Может. Постоянная величина с вероятностью 1 принимает одно и то же значение \(b\): \(X \sim \begin{pmatrix} b \\ 1 \end{pmatrix}\).

\(\mathrm{E}X = b \cdot 1 = b\), отклонение \(X - \mathrm{E}X\) всегда равно \(b - b = 0\), поэтому \(\mathrm{D}X = 0^2 \cdot 1 = 0\).

Других таких величин нет: все слагаемые суммы \((x_1 - \mathrm{E}X)^2 \cdot p_1 + (x_2 - \mathrm{E}X)^2 \cdot p_2 + \ldots\) неотрицательны, и при \(\mathrm{D}X = 0\) каждое из них равно нулю. Если значение \(x_i\) принимается с положительной вероятностью \(p_i\), то слагаемое \((x_i - \mathrm{E}X)^2 \cdot p_i\) равно нулю только при \(x_i = \mathrm{E}X\). Значит, с вероятностью 1 величина принимает одно значение, то есть она постоянная.

Ответ: да, может; дисперсия равна 0 у постоянной случайной величины, которая с вероятностью 1 принимает одно и то же значение, и только у неё.

3. Может ли дисперсия бинарной случайной величины быть равна \(\dfrac{1}{3}\)? Почему?

Бинарная величина \(I\) принимает только значения 0 и 1; если \(\mathrm{P}(I = 1) = p\), то \(I \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ q & p \end{pmatrix}\), где \(q = 1 - p\), и \(\mathrm{D}I = pq = p(1 - p) = p - p^2\).

\[p - p^2 = 0{,}25 - (p^2 - p + 0{,}25) = 0{,}25 - (p - 0{,}5)^2 \leqslant 0{,}25.\]

Значит, дисперсия бинарной величины не превосходит \(0{,}25\); это её наибольшее значение, оно достигается при \(p = 0{,}5\).

\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12} > \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\), поэтому дисперсия бинарной величины равняться \(\dfrac{1}{3}\) не может.

Ответ: нет, не может: дисперсия бинарной величины равна \(pq = p - p^2\) и не превосходит \(0{,}25\), а \(\dfrac{1}{3} > 0{,}25\).

4. Приведите пример распределения бинарной случайной величины, у которой дисперсия равна 0,24.

У бинарной величины \(I \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ q & p \end{pmatrix}\), где \(q = 1 - p\), дисперсия \(\mathrm{D}I = pq = p(1 - p)\); нужно \(p(1 - p) = 0{,}24\), то есть \(p^2 - p + 0{,}24 = 0\).

\((p - 0{,}5)^2 - 0{,}25 + 0{,}24 = 0\), откуда \((p - 0{,}5)^2 = 0{,}01\) и \(p - 0{,}5 = 0{,}1\) или \(p - 0{,}5 = -0{,}1\).

\(p = 0{,}6\) или \(p = 0{,}4\) — оба числа лежат между 0 и 1.

Возьмём \(p = 0{,}4\), тогда \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\): \[I \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}.\]

Это распределение Бернулли \(B(0{,}4)\). Проверка: сумма вероятностей \(0{,}6 + 0{,}4 = 1\), дисперсия \(\mathrm{D}I = pq = 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}24\).

Подходит и \(p = 0{,}6\): распределение \(B(0{,}6)\), то есть \(I \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}\), тоже имеет дисперсию \(0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}24\).

Ответ: например, \(I \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}\), то есть распределение Бернулли \(B(0{,}4)\): \(\mathrm{D}I = 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}24\) (подходит и \(B(0{,}6)\)).

Решение:

1. Что такое дисперсия и что такое стандартное отклонение случайной величины?

Пусть случайная величина \(X\) принимает значения \(x_1, x_2, x_3, \ldots\) с вероятностями \(p_1, p_2, p_3, \ldots\) и имеет математическое ожидание \(\mathrm{E}X\). Дисперсией \(\mathrm{D}X\) этой величины называется математическое ожидание квадрата её отклонения от математического ожидания: \[\mathrm{D}X = \mathrm{E}(X - \mathrm{E}X)^2 = (x_1 - \mathrm{E}X)^2 \cdot p_1 + (x_2 - \mathrm{E}X)^2 \cdot p_2 + \ldots\]

Дисперсия показывает, насколько сильно значения величины рассеяны вокруг её математического ожидания. Само отклонение \(X - \mathrm{E}X\) для этого не годится: его математическое ожидание всегда равно нулю, \(\mathrm{E}(X - \mathrm{E}X) = \mathrm{E}X - \mathrm{E}X = 0\), — положительные и отрицательные отклонения гасят друг друга. Квадрат отклонения неотрицателен, и такого гашения нет.

Вычислять дисперсию обычно удобнее по формуле \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}X^2 - \mathrm{E}^2 X\): математическое ожидание квадрата величины минус квадрат её математического ожидания. Конечная случайная величина всегда имеет дисперсию; бесконечная может её не иметь, даже если математическое ожидание у неё есть. Если же дисперсия существует, то существует и математическое ожидание.

Стандартным отклонением случайной величины \(X\) называется квадратный корень из дисперсии: \(\sqrt{\mathrm{D}X}\). Дисперсия составлена из квадратов отклонений и потому измеряется в квадратах единиц самой величины, а стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама величина, и его можно прямо сравнивать с её значениями.

Например, пусть случайная величина \(X\) имеет распределение \[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 2 & 8 \\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \end{pmatrix}.\]

Её математическое ожидание \(\mathrm{E}X = 0 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 0{,}5 + 8 \cdot 0{,}25 = 0 + 1 + 2 = 3\). Квадраты отклонений значений от числа 3 равны \((0 - 3)^2 = 9\), \((2 - 3)^2 = 1\) и \((8 - 3)^2 = 25\), поэтому \[\mathrm{D}X = 9 \cdot 0{,}25 + 1 \cdot 0{,}5 + 25 \cdot 0{,}25 = 2{,}25 + 0{,}5 + 6{,}25 = 9.\]

То же по формуле: \(\mathrm{E}X^2 = 0 \cdot 0{,}25 + 4 \cdot 0{,}5 + 64 \cdot 0{,}25 = 0 + 2 + 16 = 18\) и \(\mathrm{D}X = 18 - 3^2 = 9\). Стандартное отклонение равно \(\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{9} = 3\).

2. Может ли дисперсия случайной величины равняться 0? Что это за случайная величина?

Может. Пусть величина \(X\) постоянна — с вероятностью 1 принимает одно и то же значение \(b\), то есть \(X \sim \begin{pmatrix} b \\ 1 \end{pmatrix}\). Тогда \(\mathrm{E}X = b \cdot 1 = b\), отклонение \(X - \mathrm{E}X\) всегда равно \(b - b = 0\), и \(\mathrm{D}X = 0^2 \cdot 1 = 0\).

Других таких величин нет. Дисперсия — это сумма \((x_1 - \mathrm{E}X)^2 \cdot p_1 + (x_2 - \mathrm{E}X)^2 \cdot p_2 + \ldots\), и каждое её слагаемое неотрицательно: квадрат числа не меньше нуля, вероятность тоже. Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю, только если каждое из них равно нулю. Если значение \(x_i\) величина принимает с положительной вероятностью \(p_i\), то слагаемое \((x_i - \mathrm{E}X)^2 \cdot p_i\) равно нулю только при \(x_i = \mathrm{E}X\). Значит, при \(\mathrm{D}X = 0\) каждое значение, которое величина принимает с положительной вероятностью, совпадает с числом \(\mathrm{E}X\): с вероятностью 1 величина принимает одно значение, то есть она постоянная.

Например, при одном броске монеты величина \(X\) «число выпавших орлов плюс число выпавших решек» всегда равна 1: \(X \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\mathrm{E}X = 1\) и \(\mathrm{D}X = (1 - 1)^2 \cdot 1 = 0\).

3. Может ли дисперсия бинарной случайной величины быть равна \(\dfrac{1}{3}\)? Почему?

Бинарная случайная величина \(I\) принимает только значения 0 и 1. Если \(\mathrm{P}(I = 1) = p\), то \(\mathrm{P}(I = 0) = q = 1 - p\), то есть \(I \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ q & p \end{pmatrix}\), и дисперсия такой величины равна \(\mathrm{D}I = pq = p(1 - p) = p - p^2\). Выделим полный квадрат: \[p - p^2 = 0{,}25 - (p^2 - p + 0{,}25) = 0{,}25 - (p - 0{,}5)^2 \leqslant 0{,}25.\]

Значит, дисперсия бинарной величины не превосходит \(0{,}25\); это её наибольшее значение, оно достигается при \(p = 0{,}5\). Число \(\dfrac{1}{3}\) больше: \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12} > \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\). Поэтому дисперсия бинарной величины равняться \(\dfrac{1}{3}\) не может.

Важно, что бинарная величина принимает именно значения 0 и 1: у величины с двумя другими значениями дисперсия бывает и больше \(0{,}25\). Например, у величины \(X\), которая принимает значения 0 и 2, каждое с вероятностью \(0{,}5\), \(\mathrm{E}X = 1\), \(\mathrm{E}X^2 = 2\) и \(\mathrm{D}X = 2 - 1^2 = 1\).

Ответ: нет, не может: дисперсия бинарной величины равна \(pq = p - p^2\) и не превосходит \(0{,}25\), а \(\dfrac{1}{3} > 0{,}25\).

4. Приведите пример распределения бинарной случайной величины, у которой дисперсия равна 0,24.

Бинарная величина \(I \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ q & p \end{pmatrix}\), где \(q = 1 - p\), имеет дисперсию \(\mathrm{D}I = pq = p(1 - p)\). Подберём \(p\) так, чтобы \(p(1 - p) = 0{,}24\), то есть \(p^2 - p + 0{,}24 = 0\). Выделим полный квадрат: \((p - 0{,}5)^2 - 0{,}25 + 0{,}24 = 0\), откуда \((p - 0{,}5)^2 = 0{,}01\) и \(p - 0{,}5 = 0{,}1\) или \(p - 0{,}5 = -0{,}1\). Значит, \(p = 0{,}6\) или \(p = 0{,}4\); оба числа лежат между 0 и 1.

Возьмём \(p = 0{,}4\), тогда \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\). Под значением 1 стоит вероятность \(p\), под значением 0 — вероятность \(q\): \[I \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}.\]

Это распределение Бернулли \(B(0{,}4)\); так распределено, например, число попаданий при одном выстреле стрелка, который попадает в цель с вероятностью \(0{,}4\). Проверка: сумма вероятностей \(0{,}6 + 0{,}4 = 1\), дисперсия \(\mathrm{D}I = pq = 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}24\).