Страница 183 номер 401, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава VIII. Рассеивание случайных величин. §37. Свойства дисперсии и стандартного отклонения. Страница 183. Номер 401

Дано:
\(X\) — рост человека в сантиметрах
\(\mathrm{E}X = 172\) см
\(\mathrm{D}X = 36\)
1 дюйм \(= 2{,}54\) см
Найти: математическое ожидание и дисперсию роста в метрах и в дюймах.
Решение:

В других единицах рост умножается на положительное число \(a\) и равен \(aX\): \(\mathrm{E}(aX) = a\mathrm{E}X\), \(\mathrm{D}(aX) = a^2\mathrm{D}X\) — множитель выносится за знак математического ожидания, а за знак дисперсии — в квадрате.

а) 1 см \(= 0{,}01\) м, поэтому рост в метрах \(Y = 0{,}01X\).
\(\mathrm{E}Y = 0{,}01 \cdot \mathrm{E}X = 0{,}01 \cdot 172 = 1{,}72\) (м) — математическое ожидание роста в метрах.
\(\mathrm{D}Y = 0{,}01^2 \cdot \mathrm{D}X = 0{,}0001 \cdot 36 = 0{,}0036\) — дисперсия роста в метрах.

б) 1 см \(= \dfrac{1}{2{,}54}\) дюйма, поэтому рост в дюймах \(Z = \dfrac{X}{2{,}54}\).
\(\mathrm{E}Z = \dfrac{1}{2{,}54} \cdot \mathrm{E}X = \dfrac{172}{2{,}54} \approx 67{,}72\) (дюйма) — математическое ожидание роста в дюймах.
\(\mathrm{D}Z = \left(\dfrac{1}{2{,}54}\right)^2 \cdot \mathrm{D}X = \dfrac{36}{6{,}4516} \approx 5{,}58\) — дисперсия роста в дюймах.

Ответ: а) в метрах математическое ожидание роста равно \(1{,}72\) м, дисперсия равна \(0{,}0036\); б) в дюймах математическое ожидание роста \(\approx 67{,}72\) дюйма, дисперсия \(\approx 5{,}58\).

При переходе к другим единицам измерения число, выражающее рост, умножается на одно и то же положительное число \(a\): новая величина равна \(aX\) — это линейная зависимость без постоянного слагаемого. Постоянный множитель выносится за знак математического ожидания, а за знак дисперсии — в квадрате: \(\mathrm{E}(aX) = a\mathrm{E}X\) и \(\mathrm{D}(aX) = a^2\mathrm{D}X\).

а) 1 см \(= 0{,}01\) м, поэтому рост в метрах \(Y = 0{,}01X\), множитель \(a = 0{,}01\).
\(\mathrm{E}Y = 0{,}01 \cdot \mathrm{E}X = 0{,}01 \cdot 172 = 1{,}72\) (м) — математическое ожидание роста в метрах.
\(\mathrm{D}Y = 0{,}01^2 \cdot \mathrm{D}X = 0{,}0001 \cdot 36 = 0{,}0036\) — дисперсия роста в метрах.

б) 1 дюйм \(= 2{,}54\) см, поэтому 1 см \(= \dfrac{1}{2{,}54}\) дюйма, и рост в дюймах \(Z = \dfrac{X}{2{,}54}\), множитель \(a = \dfrac{1}{2{,}54}\). Дюйм длиннее сантиметра, поэтому число дюймов меньше числа сантиметров: на \(2{,}54\) делят, а не умножают.
\(\mathrm{E}Z = \dfrac{1}{2{,}54} \cdot \mathrm{E}X = \dfrac{172}{2{,}54} \approx 67{,}72\) (дюйма) — математическое ожидание роста в дюймах.
\(\mathrm{D}Z = \left(\dfrac{1}{2{,}54}\right)^2 \cdot \mathrm{D}X = \dfrac{36}{6{,}4516} \approx 5{,}58\) — дисперсия роста в дюймах.