Страница 184 номер 406, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Величина \(X\) имеет дисперсию; центрированная и нормированная величина \[Z = \frac{X - \mathrm{E}X}{\sqrt{\mathrm{D}X}}.\]
Дисперсия не бывает отрицательной; считаем \(\mathrm{D}X > 0\): при \(\mathrm{D}X = 0\) знаменатель равен нулю, и величина \(Z\) не определена.
\(\mathrm{E}X\) и \(\sqrt{\mathrm{D}X}\) — не случайные величины, а числа, поэтому \(Z = aX + b\) с постоянными \(a = \dfrac{1}{\sqrt{\mathrm{D}X}}\) и \(b = -\dfrac{\mathrm{E}X}{\sqrt{\mathrm{D}X}}\).
\(\mathrm{E}(aX + b) = a\mathrm{E}X + b\), поэтому \[\mathrm{E}Z = \frac{1}{\sqrt{\mathrm{D}X}} \cdot \mathrm{E}X - \frac{\mathrm{E}X}{\sqrt{\mathrm{D}X}} = 0.\]
\(\mathrm{D}(aX + b) = a^2\mathrm{D}X\), поэтому \[\mathrm{D}Z = \left(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{D}X}}\right)^2 \cdot \mathrm{D}X = \frac{\mathrm{D}X}{\mathrm{D}X} = 1.\]
Ответ: \(\mathrm{E}Z = 0\), \(\mathrm{D}Z = 1\) (при \(\mathrm{D}X > 0\)).
Случайную величину \(X\), имеющую дисперсию, центрируют и нормируют — переходят к величине \[Z = \frac{X - \mathrm{E}X}{\sqrt{\mathrm{D}X}}.\]
Нужно найти математическое ожидание и дисперсию величины \(Z\).
Величина, имеющая дисперсию, имеет и математическое ожидание, поэтому число \(\mathrm{E}X\) существует. Дисперсия не бывает отрицательной: \(\mathrm{D}X = \mathrm{E}(X - \mathrm{E}X)^2\) — математическое ожидание величины \((X - \mathrm{E}X)^2\), которая не принимает отрицательных значений. Будем считать, что \(\mathrm{D}X > 0\): при \(\mathrm{D}X = 0\) (например, у постоянной величины) знаменатель равен нулю, и величина \(Z\) не определена.
Ожидание \(\mathrm{E}X\) и стандартное отклонение \(\sqrt{\mathrm{D}X}\) — не случайные величины, а числа: они определяются распределением величины \(X\) и от исхода опыта не зависят. Поэтому \(Z = aX + b\), где множитель \(a = \dfrac{1}{\sqrt{\mathrm{D}X}}\) и слагаемое \(b = -\dfrac{\mathrm{E}X}{\sqrt{\mathrm{D}X}}\) — постоянные.
Постоянный множитель выносится за знак математического ожидания, а постоянное слагаемое прибавляется к нему: \(\mathrm{E}(aX + b) = a\mathrm{E}X + b\). Поэтому \[\mathrm{E}Z = \frac{1}{\sqrt{\mathrm{D}X}} \cdot \mathrm{E}X - \frac{\mathrm{E}X}{\sqrt{\mathrm{D}X}} = 0.\]
За знак дисперсии постоянный множитель выносится в квадрате, а постоянное слагаемое дисперсию не меняет: \(\mathrm{D}(aX + b) = a^2\mathrm{D}X\). Поэтому \[\mathrm{D}Z = \left(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{D}X}}\right)^2 \cdot \mathrm{D}X = \frac{\mathrm{D}X}{\mathrm{D}X} = 1.\]
Значит, у центрированной и нормированной величины математическое ожидание равно нулю, а дисперсия и стандартное отклонение равны единице.
Ответ: \(\mathrm{E}Z = 0\), \(\mathrm{D}Z = 1\) (при \(\mathrm{D}X > 0\)).
