Страница 187 номер 409, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Найдите дисперсию случайной величины \(X\), которая подчиняется геометрическому распределению с параметром:
а) \(p = \dfrac{1}{3}\);
б) \(p = 0{,}2\);
в) \(p = 0{,}3\).
Для \(X \sim G(p)\) дисперсия \(\mathrm{D}X = \dfrac{q}{p^2}\), где \(q = 1 - p\).
а) \(X \sim G\left(\dfrac{1}{3}\right)\), \(q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\), \(p^2 = \dfrac{1}{9}\), поэтому \[\mathrm{D}X = \frac{q}{p^2} = \frac{2}{3} : \frac{1}{9} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6.\]
б) \(X \sim G(0{,}2)\), \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\), \(p^2 = 0{,}04\), поэтому \[\mathrm{D}X = \frac{q}{p^2} = \frac{0{,}8}{0{,}04} = \frac{80}{4} = 20.\]
в) \(X \sim G(0{,}3)\), \(q = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\), \(p^2 = 0{,}09\), поэтому \[\mathrm{D}X = \frac{q}{p^2} = \frac{0{,}7}{0{,}09} = \frac{70}{9}.\]
Ответ: дисперсия величины \(X\) равна: а) 6; б) 20; в) \(\dfrac{70}{9}\).
Найдите дисперсию случайной величины \(X\), которая подчиняется геометрическому распределению с параметром:
а) \(p = \dfrac{1}{3}\);
б) \(p = 0{,}2\);
в) \(p = 0{,}3\).
Дисперсия геометрического распределения с параметром \(p\) равна вероятности неудачи, делённой на квадрат вероятности успеха: \(\mathrm{D}X = \dfrac{q}{p^2}\), где \(q = 1 - p\).
а) \(X \sim G\left(\dfrac{1}{3}\right)\): \(p = \dfrac{1}{3}\), \(q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\), \(p^2 = \dfrac{1}{9}\), поэтому \[\mathrm{D}X = \frac{q}{p^2} = \frac{2}{3} : \frac{1}{9} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6.\]
б) \(X \sim G(0{,}2)\): \(p = 0{,}2\), \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\), \(p^2 = 0{,}04\), поэтому \[\mathrm{D}X = \frac{q}{p^2} = \frac{0{,}8}{0{,}04} = \frac{80}{4} = 20.\]
в) \(X \sim G(0{,}3)\): \(p = 0{,}3\), \(q = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\), \(p^2 = 0{,}09\), поэтому \[\mathrm{D}X = \frac{q}{p^2} = \frac{0{,}7}{0{,}09} = \frac{70}{9}.\]
Ответ: дисперсия величины \(X\) равна: а) 6; б) 20; в) \(\dfrac{70}{9}\).
