Страница 194 номер 425, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
У величины \(X\) ожидание \(\mathrm{E}X = 50\) и дисперсия \(\mathrm{D}X = 25\) — и то, и другое существует, значит, неравенство Чебышёва применимо: \(\mathrm{P}(|X - 50| \geqslant a) \leqslant \frac{25}{a^2}\).
а) Интервал \(45 < X < 55\) симметричен относительно 50 (\(50 - 45 = 5\), \(55 - 50 = 5\)), то есть это событие \(|X - 50| < 5\); для противоположного при \(a = 5\): \(\mathrm{P}(|X - 50| \geqslant 5) \leqslant \frac{25}{5^2} = \frac{25}{25} = 1\).
\(\mathrm{P}(45 < X < 55) = 1 - \mathrm{P}(|X - 50| \geqslant 5) \geqslant 1 - 1 = 0\) — эта оценка содержания не несёт, всякая вероятность и так не меньше 0.
б) Интервал \(35 < X < 65\) тоже симметричен относительно 50 (\(50 - 35 = 15\), \(65 - 50 = 15\)), то есть это событие \(|X - 50| < 15\); для противоположного при \(a = 15\): \(\mathrm{P}(|X - 50| \geqslant 15) \leqslant \frac{25}{15^2} = \frac{25}{225} = \frac{1}{9}\).
\[\mathrm{P}(35 < X < 65) = 1 - \mathrm{P}(|X - 50| \geqslant 15) \geqslant 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}.\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(45 < X < 55) \geqslant 0\) — эта оценка содержания не несёт; б) \(\mathrm{P}(35 < X < 65) \geqslant \frac{8}{9}\).
Случайная величина \(X\) имеет математическое ожидание \(\mathrm{E}X = 50\) и дисперсию \(\mathrm{D}X = 25\). Дана именно дисперсия, поэтому в неравенство Чебышёва она подставляется как есть, возводить в квадрат ничего не нужно (стандартное отклонение при этом равно \(\sqrt{25} = 5\)). Ожидание и дисперсия существуют, значит, неравенство применимо, и для любого положительного числа \(a\) верно \(\mathrm{P}(|X - 50| \geqslant a) \leqslant \frac{25}{a^2}\).
а) Интервал \(45 < X < 55\) симметричен относительно математического ожидания: \(50 - 45 = 5\) и \(55 - 50 = 5\). Поэтому событие \(45 < X < 55\) — это то же самое, что \(|X - 50| < 5\), а противоположное ему событие оценивается при \(a = 5\): \[\mathrm{P}(|X - 50| \geqslant 5) \leqslant \frac{25}{5^2} = \frac{25}{25} = 1.\]
Вероятность противоположного события вычитается из единицы, поэтому \(\mathrm{P}(45 < X < 55) = 1 - \mathrm{P}(|X - 50| \geqslant 5) \geqslant 1 - 1 = 0\). Эта оценка содержания не несёт: всякая вероятность и так не меньше 0.
б) Интервал \(35 < X < 65\) тоже симметричен относительно 50: \(50 - 35 = 15\) и \(65 - 50 = 15\), то есть событие \(35 < X < 65\) — это то же самое, что \(|X - 50| < 15\). Для противоположного события при \(a = 15\) \[\mathrm{P}(|X - 50| \geqslant 15) \leqslant \frac{25}{15^2} = \frac{25}{225} = \frac{1}{9}.\]
Значит, \[\mathrm{P}(35 < X < 65) = 1 - \mathrm{P}(|X - 50| \geqslant 15) \geqslant 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}.\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(45 < X < 55) \geqslant 0\) — эта оценка содержания не несёт; б) \(\mathrm{P}(35 < X < 65) \geqslant \frac{8}{9}\).
